摘要:本文主要考慮了對(duì)數(shù)換底公式在對(duì)數(shù)運(yùn)算,比較對(duì)數(shù)大小兩方面的運(yùn)用。并由換底公式,推導(dǎo)出幾個(gè)重要性質(zhì),考慮了這些性質(zhì)的妙用。 　　關(guān)鍵詞:對(duì)數(shù);換底公式; 同底;化簡(jiǎn)
　　中圖分類號(hào):G640文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-2851(2010)09-0128-01
　　
　　對(duì)數(shù)換底公式logaN= (a>0且a≠1,c>0且c≠1N>0)在對(duì)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算中具有重要的作用。它可以從左端到右端應(yīng)用,也可以從右端到左端進(jìn)行應(yīng)用。
　　一、對(duì)數(shù)換底公式在對(duì)數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用
　　一般地,我們將底換為10,即把原來的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)式。
　　例1已知3a=4b=36,求+的值
　　解析把a(bǔ),b表示出來帶入求值式即得:+=+=+=1
　　例2計(jì)算 log225?log34?log59
　　解析直接運(yùn)用換底公式得:××=8
　　例3計(jì)算+++
　　解析直接從右向左運(yùn)用換底公式得:
　　+++=4×log525=8
　　二、對(duì)數(shù)換底公式在比較對(duì)數(shù)大小方面的應(yīng)用
　　例4 比較log0.20.1與log0.30.1的大小
　　解析 由于兩對(duì)數(shù)不同底,故可考慮利用換底公式來轉(zhuǎn)化問題。
　　 log0.20.1==,log0.30.1==
　　 故log0.20.1log35
　　三、對(duì)數(shù)換底公式的兩個(gè)重要推論及應(yīng)用
　　推論1 logab?logbc=logac(a>0且a≠1,b>0且b≠1,c>0)
　　注1 由此推論,易得logab?logba=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1)
　　推論2logaNbM=logab(a>0且a≠1,b>0)
　　注2 據(jù)此推論,我們可以對(duì)底數(shù)和真數(shù)同時(shí)做相同的冪運(yùn)算。
　　例6 已知實(shí)數(shù)x>1,y>1且滿足2logxy-2logyx=3。求T=x2-4y2的最值
　　解析 直接進(jìn)行變形可得(logxy+2)?(2logxy-1)=0,于是logxy=,即y=
　　 于是T=x2-4x (x>1)所以Tmin=-4
　　例7 已知log=a,log=b,求log81175的值
　　解析 此題直接利用推論2即可求解
　　 因?yàn)閘og=log277=log37=a,所以log37=3a,
　　 又log=log35=b,
　　 所以log81175=log325×7=(log325+log37)
　　=(2log35+log37)=
　　總之,在進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí),利用對(duì)數(shù)換底公式,會(huì)大大提高解題能力;簡(jiǎn)化解題過程;加快解題速度。所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們有必要掌握好換底公式這一有力工具。

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