做有問題實驗，促思維力提升

　摘要：問題是數學的心臟，數學是思維的體操，問題與思維相伴相生，相互交融。有品質促思考的數學實驗，要摒棄缺乏思考空間、缺乏參與動力、缺乏邏輯遞進的實驗問題設計，在懸而未知處、在新舊銜接處、在特殊至一般處、在認知沖突處、在邏輯遞進處巧設實驗問題，促進思維能力提升，更好彰顯學科育人價值。

　關鍵詞：數學實驗

　問題設計

　思維提升

　數學實驗是為促進理性思維，驗證數學猜想，歸納數學規(guī)律，解決數學問題，通過一定的方法，借助一定的設備，運用一定的手段，在思維活動的參與下和典型的實驗環(huán)境中進行的一種數學建構過程和數學探索活動[1] 。隨著課程改革的深入，數學實驗正以活躍的態(tài)勢融入常態(tài)數學課堂，為小學數學教學注入新的活力。然而觀察一些的數學實驗課堂，我們發(fā)現驅動學生開展數學實驗的問題表征，或是缺乏實驗研究空間，或是缺乏實驗展開動機，或是缺乏實驗邏輯設計，不利于學生數學思維的提升，削弱了數學實驗的價值意蘊。為此我們就數學實驗教學中如何做有問題實驗，以更好提升思維能力，展開了一定的理性思考與實踐探索。

　第一，內涵研讀：問題＆思維 我國教育先哲孔子很早就提出學起于思，思源于疑 ；古希臘哲學家亞里士多德認為思維從疑問和驚奇開始 ；美國當代教育家哈爾莫斯更是指出問題是數學的心臟 。顯見問題與思維是相伴相生、互生共長的。在數學學科的教學中問題與思維的水乳交融關系更為深透。為此我們需要明晰一些概念。

　1. 關于問題

　問題：是指在給定的信息和目標狀態(tài)之間有某些障礙需要克服的情境。它包含了這樣的三個成分：（1）給定。一組關于問題條件的描述，即問題的起始狀態(tài)。（2）目標。關于構成問題結論的描述，即問題要求的答案或目標狀態(tài)。（3）障礙。正確的解決方法不是直接的顯而易見的，必須通過一定的認知操作才能改變給定狀態(tài)，逐漸達到目標狀態(tài)[2] 。

　問題解決。是指把問題的給定狀態(tài)裝換成目標表狀態(tài)的過程。從教育心理學的角度來理解就是指問題解決者通過思維重新組織已知的概念和規(guī)則，進而形成新的答案的過程，其中新的答案所形成的規(guī)則不是簡單規(guī)則的應用，而是形成新的規(guī)則的過程。

　問題教學。是指在教學中把學生置于問題情境之中，引導學生圍繞問題展開思維，利

　用和重新組織已有的概念和規(guī)則，形成相應的高級規(guī)則，最終達到解決問題的教學方式。

　2. 關于思維

　思維：最初是人腦借助于語言對客觀事物的概括和間接的反應過程。思維以感知為基礎又超越感知的界限。通常意義上的思維，涉及所有的認知或智力活動。它探索與發(fā)現事物的內部本質聯系和規(guī)律性，是認識過程的高級階段。思維還具有深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性五大品質。

　數學思想方法：它是隱性的，對數學對象本質的認識，是對數學知識的進一步提煉、概括而形成的。有些學者認為常見數學思想方法有函數、分類、化歸、數形結合、極限、統計等方面，也有學者概括為抽象、推理、模型三大內容。

　思維教學：美國教育家杜威評論德國的赫爾巴特學派的啟發(fā)教學法是以思維附屬于獲得知識的過程，而他倡導的問題教學法則是以獲得知識附屬于發(fā)展思維的過程。他認為思維的自然規(guī)律不是形式邏輯，而是所謂“實驗邏輯”的反省的思維。它是對問題反復地、持續(xù)地進行探究的過程。反省思維是由疑難的或不確定的情境到確定的情境兩端之間的全過程。這個觀念顯示教育大家境界，值得廣泛認同。

　3. 關于數學實驗之問題與思維

　數學實驗研究的問題，在問題的給定狀態(tài)與目標狀態(tài)之間同樣需要克服一定的障礙，問題的答案不是顯而易見的，要有一定的思考探索空間。此外，因數學實驗教學與其它數學教學不一樣的地方，還需要創(chuàng)設驅動學生“動手做”去解決問題的欲望與特定條件。就是要讓學生在“做數學”的過程中充分地以自己的五官去感知去探究，以自己的腦袋去思考去分析，以自己的語言去描述去表達。正如東北師范大學校長史寧中教授談到的，數學教學要力求從現實生活情境引入，培養(yǎng)學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。這里數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。在數學實驗教學的課堂上，問題與思維相生相伴、相互促進的關系更是不言而喻。

　第二，現象透視：實驗問題設計的誤區(qū)

　 數學實驗教學不僅豐富了學生的學習方式，讓數學不再以數學家們常用的“演繹”方式推進，而以兒童樂于接受富于創(chuàng)造性的“實驗歸納”的方式推進，讓數學由“嚴肅可怕”變得“有趣可愛”。但反觀一些日常實驗教學的課堂，我們不難發(fā)現一些只是“形似”而非“神似”的問題。其核心突出表征，就是實驗教學的問題設計。

　1. 問題空間狹窄，缺乏實驗思考空間

　數學實驗要有鮮明的實驗目標，目標往往以問題驅動，而問題應該具有在給定狀態(tài)與

　目標狀態(tài)之間的障礙設置。反觀一些數學實驗的課堂，我們發(fā)現問題的設計缺乏這樣具有思考空間的障礙設計。比如三年級上冊“倍的認識”一課，有老師以問題“第一排擺 2 根小棒，第二排擺 3 個 2 根，想一想：第二排小棒的根數是第一排的多少倍？”作為實驗活動的引領。我們可以發(fā)現這個問題“第二排擺 3 個 2 根”已經沒有需要思維克服的障礙，也就沒有了實驗探究的空間，純粹是鞏固倍概念的數學動手操作活動。如果改為“第一排擺 2 根小棒，第二排擺 6 根小棒，想一想怎樣擺可以一眼看出第二排小棒的根數是第一排的多少倍？”也就有了實驗問題設計的思維價值。

　2. 問題答案即視，缺乏實驗參與動力

　 數學實驗教學，不是為實驗而實驗，同樣需要以問題激發(fā)學生的探究欲望參與動機。因此，問題的呈現需要有懸疑，有激發(fā)學生參與的強烈的實驗研究需求。但是我們發(fā)現有些實驗忽視了這個需求。比如四年級上冊的“可能性”一課，教師呈現問題“袋子中 4 個球，三白一黃，摸到哪種球的可能性大？”在學生異口同聲認為白球的可能性大之后，便讓學生進行實驗驗證這個猜想。這樣答案即視的實驗問題，沒有思維的挑戰(zhàn)性，使得學生也沒有了探究未知問題的沖動與激情，整個實驗活動便成為了學生懶懶散散的走過場的過程。如果我們將問題改為“袋子中有紅、白兩種球共 4 個,到底有幾個紅球、幾個白球呢？你有什么好辦法呢？可不能打開袋子哦！”懸而未知的答案、欲根據實驗數據預測的前在想法等等，是否會讓這個數學實驗活動呈現另一番場景，更突出實驗的需求與價值意義呢？ 3. 問題要求粗放，缺乏實驗邏輯設計

　有時與上面兩者相反，也有一些數學實驗問題的設計沒有基于學生已有認知基礎與經驗水平，過于粗放簡單，使得學生無從入手研究。比如五年級下冊“圓的面積” 一課，教師直接出示大問題“能像平面上的直線圖形一樣，把圓轉化成已經學過面積公式的圖形來推導面積計算方法嗎？”看似要讓學生跳一跳摘果子，實際上學生即使由方法遷移，想到可以轉化成已經學過面積計算公式的平面圖形來推導，但讓他們落實于實驗操作還是有一定的困難的。畢竟“化曲為直”第一次出現，于學生思維而言已經有了質的提升。如果改成這樣兩個實驗問題：“1.你能否也像以前一樣用數格子方法數出圓的面積，看看與什么有關？”(右圖)在學生通過第一次實驗數據的觀察歸納得出“圓的面積是半徑平方的 3 倍多一些（π倍）”后，引出實驗問題“2.圓的面積是半徑平方的 3 倍多一些（π倍），這個猜想是否正確呢？它與拼成圖形（近似的長方形）之間有什么樣的關系？”(左圖)讓學生進一步親歷“提出猜想—

　—轉化驗證——得出結論”的過程。這樣兩層問題設計，讓數學實驗活動更符合學生認知規(guī)律，能體現實驗問題與活動展開的邏輯遞進性。

　第三，實踐探索：實驗問題設計的策略

　 既然數學實驗具有鮮明的任務驅動性即目標性，那么顯然就要有問題激發(fā)的強烈探究欲。透視上述數學實驗問題設計的誤區(qū)，觀照數學實驗課堂豐富的實踐探索與教師們的頭腦風暴，我們初步形成這樣幾個實驗問題設計的策略。

　1. 基于現狀，引發(fā)懸而未知狀的問題

　有一些數學實驗，沒有或很難找到學生生活或數學經驗的積累，只是延展或豐富單元學習知識的運用外延，體會數學知識的實際價值意義。比如四年級上冊第四單元“統計表與條形統計圖（一）”編排了“動手做——硬幣上的滴水實驗”（如圖），顯然是本單元統計知識的在數學實驗中的延伸體驗。學生對于一滴水有多大體積、水的表面張力等知識確實沒有多少的積累，那么正視現實，就是基于現狀，以懸而未知的問題引發(fā)數學實驗的內驅力。也正因為懸而未知，才可以讓這樣兩個實驗問題的設計“實驗一：1 元硬幣上最多能滴多少滴水？”“實驗二：5 角、1 角硬幣上最多能滴多少滴水？”豐盈學生數學實驗的過程，更好體驗統計量的價值。

　2. 基于經驗，催生新舊銜接性的問題

　數學知識、規(guī)律等的學習，大多是建立在原有知識經驗基礎上的。正如建構主義認為的，學生不是空著腦袋進教室的。運用新舊知識的生長點、銜接點設計數學實驗的問題，也是很好的切入口。比如五年級上冊“梯形面積的計算”一課，由問題設計：你能把梯形轉化成已經學過面積公式的哪種圖形？它們之間有著怎樣的關系？你能根據關系試著推導梯形的面積計算公式嗎？引發(fā)數學實驗的需求，同時合理靈活遷移最臨近經驗，即“三角形面積的計算”實驗研究與推導發(fā)現的結構，也就能在問題的驅動下獨立而直接進入“圖形轉化——關系聯接——公式推導”圖形面積研究的三步曲。結構性的問題驅動是更上位的思維要求，體現教結構用結構的長程規(guī)劃思路，能更好地實現知識結構與方法結構遷移的課程立意。

　3. 基于規(guī)律，展開特殊到一般的問題

　數學教學中，很多“探索規(guī)律”類的學習內容，都編排著從特殊到一般的認知結構，也是可以開發(fā)為數學實驗教學的內容，讓學生在動手做、圖 1

　動腦思的過程中親歷數學歸納與合情推理的過程。我們不妨來看一看我們六年級上冊探索規(guī)律之“表面涂色的正方體” ，這是一個比較典型的數學實驗，學生不僅能通過動手實踐、動腦思考發(fā)現蘊藏其中的規(guī)律，還能感受數學實驗的無窮樂趣。教學中按這樣的問題與實驗活動的流程展開數學實驗：

　實驗一，切割觀察，研究感知問題。教師引導學生用身邊的土豆或蘿卜切成正方體并涂上顏色，然后將棱二等分切開（圖 1），觀察思考“能切出多少個同樣大的小正方體？每個小正方體有幾面涂色?”問題引領的這個小實驗是為后續(xù)系列化的實驗研究做觀察感知的基礎性準備工作。

　實驗二，把玩魔方，研究分類問題。為深入推進實驗，引發(fā)順延問題“如果是將棱長三等分，能切出多少個同樣大的小正方體？每個小正方體除了三面涂色的情況，會不會出現別的可能？它們又會出現在什么位置？各種涂色可能情況的數量分別是多少？”并引導學生：可以利用身邊的三階魔方（圖 2）進行觀察想象，或動手撥一撥（圖 3）驗證你的想象。” 很顯然，學生通過魔方的觀察與撥動，可以初步發(fā)現：可能出現三面涂色、兩面涂色、一面涂色等幾種分類的情況。并發(fā)現三面涂色、兩面涂色、一面涂色等幾種情況與小正方體與頂點、棱、面的位置有關。而關于各色數量的問題還存在困惑，也正是后續(xù)實驗要持續(xù)研究的問題。

　實驗三，基于特例，探索規(guī)律問題。當同學們發(fā)現有三面涂色、兩面涂色、一面涂色等幾種情況以及它們的位置特點后，就自然生發(fā)實驗問題“三面涂色、兩面涂色、一面涂色等幾種情況的小正方體分別有多少個？每種情況小正方體的個數與正方體的頂點、棱、面的數量之間一定有著內在聯系？”學生通過自己進一步把玩魔方以及其它更多等分的學具，帶著自己的猜想與研究問題，進入實驗研究環(huán)節(jié)。本著復雜問題從簡單想起的學習策略，學生可以自主進行實驗設計，先研究棱長三等分的，再研究棱長四等分的，再推理想象棱長更多等分的。并設計實驗記錄單（表 1），分組進行實驗。

　最后交流分享積累的特例數據，引發(fā)合情推理，發(fā)現一般性的數學規(guī)律（表 2）。

　圖 2 圖 3

　這樣從特殊到一般的問題研究，是數學實驗之于探索規(guī)律最常用的方法策略，具有明顯的結構化特點，能內化為一般性規(guī)律研究的問題思考線索與方法策略。

　4. 基于比較，創(chuàng)設認知沖突性的問題

　當學生原有知識在解決新問題遇到障礙時，往往以形成認知沖突方式引發(fā)學生的探究欲望，數學實驗更需如此，方能更好激活學生思維，激發(fā)學生投入挑戰(zhàn)性的實驗研究活動之中，實驗的過程就是問題伴隨思緒飛揚的過程。

　如四年級下冊“三角形的三邊關系”一課，數學實驗的味道很濃。其表征之一就是圍繞“問題 1：任意長度的三條線段都可以圍成三角形嗎？”這一實驗（圖 4）引發(fā)學生強烈的認知沖突，繼而學生自主生成了新的實驗研究問題“為什么有的能圍成？有的不能圍成？”由此進入富有思維含量與挑戰(zhàn)性的第二層數學實驗活動（圖 5）。問題引領目標聚焦，學生思維由此深入深刻，更趨向批判性、創(chuàng)造性的品質提升。

　 表 1 表 2 圖 4

　圖 5

　5. 基于結構，推進邏輯遞進性的問題 數學知識或規(guī)律的產生與發(fā)展過程有其內在的邏輯線索，所以適宜以數學實驗方式展開教學的內容，其問題設計的推進邏輯必須體現這樣的線索，同時也要符合學生的認知規(guī)律。在一些實驗內容的開發(fā)中我們尤為重視體現這種需求。

　比如六年級下冊“動手做” （圖 6）中數字天平的制作與規(guī)律研究，我們將其開發(fā)為數學實驗課“平衡中的奧秘”。為激活經驗鏈接知識的前沿后續(xù)，使學生的探索過程更具邏輯性，我們以常見的托盤天平引入，并以邏輯遞進的三個問題，串起三個數學實驗活動。首先基于托盤天平生成“問題 1：左右兩邊質量相等，天平一定平衡嗎？ ”基于數字天平實驗活動一的發(fā)現生成“問題 2：要使天平平衡，是不是一定需要兩邊物體質量相等、距離相等呢？”學生猜想：不一定？基于數字天平實驗活動二特例研究的發(fā)現生成“問題 3：數字天平上有‘左邊質量×距離 ＝ 右邊質量×距離’的規(guī)律嗎？”層層深入富有邏輯性的問題讓數學實驗與規(guī)律探索的過程，趣味盎然又充溢思維的張力。

　第四，價值追尋：實驗問題設計的主旨 數學實驗問題的設計不是隨意的、淺表的、信手捏來的，需要教師們進行數學教材的整體研讀、需要對數學學科的本質把握，需要有專業(yè)素養(yǎng)的深厚積淀，需要凸顯對小學數學實驗教學特征的深入理解。其目標指向是學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尤其是思維品質的提升。

　1. 聚與散：目標的聚焦與 個性化 的思維發(fā)散

　富有思維含量的數學實驗問題設計，對實驗活動具有引領導向作用，能核心聚焦實驗活動的目標。不管是開啟小實驗的一個問題，還是催生邏輯遞進多個實驗的問題串，學生都能興味濃厚地帶著實驗研究的問題，邊做邊思，邊思邊做，內思與外動交融，綻放自己個性化地思維火花，發(fā)散思維，創(chuàng)造性地行進于實驗創(chuàng)造活動之中。

　觀察比照下面幾份“分數除以分數”一課的實驗單（見圖），我們不得不為學生挑戰(zhàn)自我創(chuàng)造思維的訴求所折服。在實驗問題與方法假設的引領下，學生畫圖思路，就有不只是圖 6

　滿足將一個物體或一個計量單位這樣的單位“1”平均分，還拓展至一些物體組成的單位“1”去平均分進行實驗研究。不僅有常見的化小數、化低單位、化分數單位、做除法想乘法等思考角度，還有獨創(chuàng)性的根據分數的基本性質、分數與除法關系進行演繹推理的策略。

　 目標的聚焦與個性化的思維發(fā)散，正是源于與實驗問題的開放設計與對學生學習能力的信任，也是教師兒童立場的準確定位。

　2. 行與思：動態(tài)的操作與 可視化 的 思維品鑒

　為讓基于實驗問題的研究活動有效充分展開，積極推進學生從問題的準備狀態(tài)到目標準狀態(tài)的進程，教師會為學生準備數學實驗需要的實驗素材，并提供或讓學生自主設計相應的問題研究記錄單。且行且思，學生思維過程的個性化、多樣化軌跡便躍然于眼前，比如上述“分數除以分數”呈現的研究單就是很好的證據。作為差異化的教學資源，激起學生頭腦風暴的同時，也層層深入推進學生的學習研究活動。在方法思路的共賞共鳴、品鑒優(yōu)化中，學生得以發(fā)展的不只是記憶、理解等低階思維，更多是以分析、評價、創(chuàng)造為表征的高階思維[3] （如圖）。

　3. 顯與隱：外顯的結論與 內隱 的 素養(yǎng)提升

　數學實驗是數學學習方式的豐富，數學學科目標聚焦從“雙基”到“四基”的有效體現，旨在是強化學生的經歷與體驗，增強學生的數學活動經驗積累與數學思想方法的感悟�；�于數學實驗問題設計的思考與實踐探索，讓我們明白，實驗探究得到外顯的數學知識、規(guī)律等不是終極或唯一目標，它們都只是學生思維發(fā)展、能力素養(yǎng)提升的載體。

　作為鮮明表征的是，學生在思維活動參與下，獲得的可創(chuàng)生、可遷移的知識結構與方法結構（如圖）。就像圖中所現的平面圖形與立體圖形的知識體系架構，體現了一般的認知線索與結構，同時從特征到面積、體積等，幾乎大部分內容的學習，都可以在學生自主生成實驗問題的驅動下，展開實驗探究活動，并在自我反思互動評價中提升轉化為方法結構。而結構化的積淀正是學生高階思維的重要表征。因此我門評價的指證更多應定位于內隱的學生思維能力的發(fā)展，學生實踐與創(chuàng)新能力等素養(yǎng)的提升。

　小學數學實驗教學中，站穩(wěn)兒童立場，視兒童為學習的主體、主人，以數學的“心臟”——“問題”設計切入，學生的數學眼光、理性思維、科學精神等方能落到實處，數學實驗的之于數學學科獨特的育人價值更能得到彰顯。

　參考文獻：

　[1] 潘小福.數學實驗教學的實施策略[J].教育研究與評論,2015,（8）.

　[2] 丁家永.小學教學心理與教學設計[M].蘇州:蘇州大學出版社,2001.5. [3] 曾志旺.物理教學中基于問題的高階思維培養(yǎng)策略. [EB/OL]. https://wenku.baidu.com/view/01be303c7275a417866fb84ae45c3b3567ecddcb.html

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