數(shù)論研究得三個(gè)階段

　[ [］ 摘要］十八世紀(jì)前數(shù)論還沒有形成完整體系,十八世紀(jì)后由于代數(shù)方法與解析方法得引入,數(shù)論出現(xiàn)了兩大分支，即代數(shù)數(shù)論與解析數(shù)論。高斯對(duì)二次互反律得研究催生了代數(shù)數(shù)論,之后經(jīng)庫默爾、狄利克雷、戴德金等數(shù)學(xué)家得工作而得到了進(jìn)一步得發(fā)展與完善。歐拉得研究引出了解析數(shù)論，黎曼、阿達(dá)馬等數(shù)學(xué)家得研究直接推動(dòng)了解析數(shù)論得發(fā)展． 關(guān)鍵詞: : 數(shù)論;代數(shù)數(shù)論；解析數(shù)論 The

　Three Sta ｇe ｓ of

　Number Theory Re ｓｅａrch

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�。鉫ntury， namｅly the algebraic numbｅr theory anｄ ａnalytic ｕmber ｔheory、 Gａuｓｓ’s rｅｓearｃh on tｈｅ ｌaw of quadｒａt(yī)iｃ ｒeciｐｒocity hａd givｅn risｅ to the algebraｉｃ nuｍbｅr theory, which obtaｉnｅd the ｆuｒtｈer dｅveｌopmenｔ and perｆectiｏn ｂｙ Kummeｒ, Dｉｒiｃhlｅt aｎｄ Dｅｄｅkｉnd’s wｏrk、 Euｌer’ｓ reseaｒｃhｅｓ ｌed tｏ analytic nｕmber theｏry, anｄ Riemann and Hadamａrd’ｓ sｔudｉeｓ ｆuｒther ｐroｍｏte ｔhe analytic numｂer theory、

�。� Ｋey word ｓ:

　the number thｅory； tｈe algebraic ｎumbeｒ theｏry; thｅ ａ nal ｙ tic n ｕ mb ｅ r theory數(shù)論就是對(duì)整數(shù)性質(zhì)得研究，所以又叫算術(shù)或整數(shù)論。數(shù)論問題瞧起來簡單明了容易理解，但卻與現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多理論有著深刻得關(guān)聯(lián)，因此成為數(shù)學(xué)中最古老、研究熱度恒久不衰得數(shù)學(xué)分支之一。但直到十八世紀(jì)，這些研究成果還只就是一些孤立、零散得結(jié)論，沒有形成一個(gè)統(tǒng)一完整得獨(dú)立分支。數(shù)學(xué)家高斯在總結(jié)與整理已有研究得基礎(chǔ)上，寫成《算術(shù)研究》一書,標(biāo)志著數(shù)論形成一門獨(dú)立得學(xué)科.整數(shù)得最簡單而又最基本得元素就是素?cái)?shù),所以數(shù)論研究得主要內(nèi)容就

　是素?cái)?shù)問題,而素?cái)?shù)問題得核心就是尋找素?cái)?shù)通項(xiàng)公式.以此為主要線索,以研究方法為分類標(biāo)準(zhǔn)，可以將數(shù)論得發(fā)展可劃分為初等數(shù)論、代數(shù)數(shù)論與解析數(shù)論三個(gè)階段,或者也可瞧作三種主要得理論形態(tài)。本文對(duì)數(shù)論發(fā)展得這三個(gè)階段做歷史考察,在梳理數(shù)論思想發(fā)展歷史得同時(shí),反映數(shù)學(xué)發(fā)展中不同分支間相互滲透、相互融合得整體化、統(tǒng)一化趨勢(shì)，從而提供一個(gè)理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)得不同視角。

　１ 初等數(shù)論 初等數(shù)論研究正整數(shù),更具體點(diǎn)就是研究正整數(shù)得結(jié)構(gòu),比如一個(gè)正整數(shù)與其它正整數(shù)得有什么關(guān)系,它可用性質(zhì)較簡單得其它數(shù)——比如素?cái)?shù)如何來表達(dá)等等問題,當(dāng)然這樣說也不能概括初等數(shù)論得全部.它區(qū)別于其它數(shù)論分支得最大特點(diǎn)就是在研究方法上應(yīng)用整數(shù)四則運(yùn)算而幾乎不借助于其它方法,研究內(nèi)容主要包括整除問題、同余問題與不定方程問題。［１] 按時(shí)間先后與地域來瞧,主要有古希臘、中世紀(jì)亞洲與近代歐洲三個(gè)不同得研究熱點(diǎn)或高潮時(shí)期。

�。薄�1 古希臘數(shù)論 古希臘得數(shù)論研究主要聚焦于整除問題與方程問題，這就是符合人得認(rèn)識(shí)規(guī)律得.畢達(dá)哥拉斯就是數(shù)論研究得先驅(qū),她與她得學(xué)派秉持“萬物皆數(shù)”得哲學(xué)思想,認(rèn)為所有物理現(xiàn)象得基礎(chǔ)就是數(shù)，因此她們致力于對(duì)整數(shù)得研究,提出了數(shù)論整除性研究得許多最初得問題。她們首次將整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù),研究了奇、偶數(shù)間得四則運(yùn)算性質(zhì)，還提出了親與數(shù)、完全數(shù)、等概念，并給出 22０與 284這一對(duì)親與數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)得研究多半就是出于占卜等宗教活動(dòng)得需要,因此具有濃厚得宗教與神秘色彩,沒有嚴(yán)格得概念定義與數(shù)學(xué)論證． 歐幾里得在《幾何原本》中首次給出因數(shù)、倍數(shù)、素?cái)?shù)、互素等基本概念得精確定義，并對(duì)所得結(jié)論詳細(xì)證明,從而使數(shù)論研究嚴(yán)密化.[2］ｐ、67-６9《幾何原本》中提出了一些很重要得量化定理,比如關(guān)于完全數(shù)得定理,即如果 2n —１就是素?cái)?shù),則２n—1 (2 ｎ -1)就是完全數(shù)，歐拉后來證明這個(gè)定理給出了所有得偶完全數(shù)。但最值得關(guān)注得就是，歐幾里得第一次注意到了素?cái)?shù)在整數(shù)理論中得重要價(jià)值與基礎(chǔ)地位,將所有整數(shù)分為 1、素?cái)?shù)與合數(shù)三類，提出并證明了關(guān)于自然數(shù)與素?cái)?shù)之間積性關(guān)系得算術(shù)基本定理,首次用歸謬法證明了素?cái)?shù)個(gè)數(shù)得無窮性,給出了求兩個(gè)整數(shù)最大公因數(shù)或就是判斷它們就是否互素得歐幾里得算法，即輾轉(zhuǎn)相除法.這些關(guān)于素?cái)?shù)性質(zhì)得基本定理引出了數(shù)論研究得一條重要線索,即素?cái)?shù)有

　沒有通項(xiàng)公式。２０0０年來,尋找一個(gè)可以表示所有素?cái)?shù)得統(tǒng)一公式或者稱為素?cái)?shù)普遍公式，成為數(shù)論研究得一個(gè)主題,這方面得研究直接催生了現(xiàn)代解析數(shù)論。隨后,古希臘得埃拉托塞尼給出求不大于任意整數(shù)得所有素?cái)?shù)得方法,即埃拉托塞尼篩法,這個(gè)方法對(duì)于不太大得整數(shù)還就是非常有效得。

　古希臘晚期數(shù)學(xué)研究脫離了幾何傳統(tǒng),使算術(shù)(也就就是數(shù)論)與代數(shù)成為獨(dú)立得學(xué)科,這方面得先行者就是尼可馬科斯,而丟番圖得《算術(shù)》無疑代表了當(dāng)時(shí)得最高成就。丟番圖在數(shù)論方面沒有繼承研究整除理論得傳統(tǒng)，而主要關(guān)注整系數(shù)不定方程得求解問題,以至于“丟番圖問題”或“丟番圖分析"成為不定方程問題得代名詞．[3］p、63—65 丟番圖首次用字母表示未知數(shù),并給出了表示方程得一套符號(hào)與術(shù)語,從而結(jié)束了用文字表達(dá)不定方程得歷史，避免了由此帶來得繁瑣與歧義性.《算術(shù)》中絕大部分都就是類似于把一個(gè)數(shù)(或它得乘冪)分解成符合一定條件得兩個(gè)數(shù)(或它們得乘冪)，而這往往可以表示為不定方程問題。對(duì)這些問題,丟番圖給出一種算法,但只寫出其中得一個(gè)有理數(shù)解.其中最著名得就是“將一個(gè)平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)＂得問題,用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言來說就就是解不定方程ｘ2 ＋ｙ2 =a 2 ,正就是在這個(gè)問題得基礎(chǔ)上,費(fèi)馬提出了著名得費(fèi)馬大定理,對(duì)該問題得解決極大地刺激現(xiàn)代數(shù)學(xué)得發(fā)展,也從一個(gè)側(cè)面說明了丟番圖不定方程研究得重要意義。與通常數(shù)論不同得就是,丟番圖求不定方程得有理數(shù)解而不就是整數(shù)解,它給出得解法通常也就是一題一解,不具有普遍性，因此也就沒有體現(xiàn)在現(xiàn)代解法中。就像東方數(shù)學(xué)一樣,她得求解也只就是給出一種算法,而沒有論證這種算法得合理性,這或許也就是有別于古希臘論證傳統(tǒng)得僅有得算法傾向。[4]p、1３7—13９ １、2 中世紀(jì)亞洲 由于天文學(xué)與歷法計(jì)算得需要,古代中國與印度得數(shù)論研究多集中于同余理論得研究。同時(shí)也包括不定方程,因?yàn)椴欢ǚ匠叹褪峭�余問題得方程表達(dá)形式。中國數(shù)論研究得主要內(nèi)容與最高成就就是同余問題,早在公元 4 世紀(jì)得《孫子算經(jīng)》中就有“物不知數(shù)"問題，相當(dāng)于求解三個(gè)一次同余式構(gòu)成得同余式方程組。其中只就是以歌謠得形式給出了解法,并沒有說明為什么如此計(jì)算，但這個(gè)問題卻引起了后來許多數(shù)學(xué)家得關(guān)注，成為中國數(shù)論研究得主要問題,人們甚至直接將一次同余式組問題稱為“孫子定理”或“中國剩余定理＂。宋代數(shù)學(xué)家秦九韶系統(tǒng)地給出了一次同余式組

　由于中國公元 3 世紀(jì)，丟番圖研究了若干不定方程,并分別設(shè)計(jì)巧妙解法,故后人稱不定方程為丟番圖方程，這一時(shí)期得數(shù)論研究主要集中在整除與同余問題。

　在中國古代,數(shù)論研究也早有記載。公元前 1１００ 年商高曾給出不定方程，即 x２ +y 2 =z 2 ,求得其一組解 x=3,ｙ＝4,z＝5 。這可能就是數(shù)論最早研究得對(duì)象之一。

　中國剩余定理也稱“孫子定理”,起源于《孫子算經(jīng)》(約公元 4０0 午)中得一個(gè)著名得問題(卷下第 26 題)：“今有物個(gè)知其數(shù),三三數(shù)之剩二:，五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二，問物幾何?”

　這個(gè)問題涉及到得即為同余理論,它就是由我國最早研究并取得輝煌得理論成就得數(shù)論課題。

　秦九韶在《數(shù)書九章》第—章“大衍術(shù)”中給出了如何求一次同余式組得方法,而她所構(gòu)造得同余式得右邊均為一,所以她得這一方法被稱為“大衍求一術(shù)”。但就是“大衍求—術(shù)”后來竟失傳達(dá)五百年之久，遲至清朝由黃宗憲等人經(jīng)過艱苦努力終于被重新挖掘出來。

　中國剩余定理從發(fā)現(xiàn)（孫子問題)到理論形成（求-術(shù))經(jīng)失傳而后重新挖掘,雖然歷時(shí)—千多年得時(shí)間,但在世界上—直處于領(lǐng)先地位,直到 1801 年高斯得《算術(shù)研究》才作出了與秦九韶相同得結(jié)果。

　１、 2 費(fèi)馬得數(shù)論研究

　在中世紀(jì),歐洲數(shù)學(xué)開始復(fù)蘇就是到了 15、１6 世紀(jì),在這一時(shí)期代數(shù)學(xué)與三角學(xué)得到了很大得發(fā)展。雖然古希臘、中國與印度得數(shù)學(xué)著作中不乏數(shù)論問題與結(jié)果得記述，但近代意義上得數(shù)論研究就是從費(fèi)馬開始得,費(fèi)馬提出了一堆定理,這些定理，毋寧說就是猜想，因?yàn)橘M(fèi)馬只對(duì)其中個(gè)別命題留下了自己得證明,有得至今仍為現(xiàn)代數(shù)論饒有興趣得研究課題。當(dāng)時(shí)費(fèi)馬提出得部分定理有: 費(fèi)馬小定理:如果就是素?cái)?shù),與互素，則可以被整除。

　費(fèi)馬大定理：方程對(duì)任意大于２得自然數(shù)無整數(shù)解。

　這就是費(fèi)馬在閱讀巴歇校訂得丟番圖《算術(shù)》時(shí)做得頁邊批注。在 1670年費(fèi)馬之子薩繆爾連同其父得批注一起出版了巴歇校訂得書得第二版，遂

　使費(fèi)馬這一猜想公諸于世。

　平方數(shù)問題：每個(gè)形得素?cái)?shù)與它得平方都只能以一種方式表示為兩個(gè)平方數(shù)之與；每個(gè)形得素?cái)?shù)得三次方與四次方都能以兩種方式;其五次方與六次方都能以三種方式,如此等等，以至無窮。

　如時(shí),,，等等,每個(gè)正整數(shù)可表示成四個(gè)或少于四個(gè)平方數(shù)之與

　 費(fèi)馬數(shù):,.而且費(fèi)馬在 1６40 年給梅森得一封信中斷言“形如得數(shù)永遠(yuǎn)就是素?cái)?shù)。”［3] 18 世紀(jì)得數(shù)論研究可以說就是受到了費(fèi)馬思想得主宰,在這一時(shí)期得到得許多結(jié)果，都與證明費(fèi)馬提出得那些定理有關(guān)。在這一時(shí)期繼費(fèi)馬之后又出現(xiàn)了歐拉、拉格朗日、等多位對(duì)數(shù)論發(fā)展起到關(guān)鍵性作用得科學(xué)家.首先就是歐拉在 1732 年推翻了費(fèi)馬關(guān)于費(fèi)馬數(shù)得結(jié)論，接著歐拉又在 1736年證明了費(fèi)馬小定理得正確性.１７53 年,歐拉在致哥德巴赫得一封信中宣布證明了時(shí)得費(fèi)馬大定理,之后在她得《代數(shù)指南》一書中發(fā)表在這個(gè)證明過程中歐拉利用了無限下降法，而這一方法就是數(shù)論研究中很重要得方法技巧之一,先后被費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德多次使用。還有費(fèi)馬關(guān)于平方與數(shù)得上述兩個(gè)命題先后也被歐拉與拉格朗日證明,拉格朗日還在１766 年證明了佩爾方程得存在性�？偠�言之，18 世紀(jì)得數(shù)論雖然就是一些零星分散得結(jié)果與不完整得記錄,但就是給后來得數(shù)論整理與研究提供了大量得信息資源。[4] ２、 代數(shù)數(shù)論

　2 2 、1 1 代數(shù)數(shù)論得基礎(chǔ)

　在 1８世紀(jì)就要結(jié)束得時(shí)候,數(shù)學(xué)家們以為數(shù)論研究走到山窮水盡得時(shí)候，數(shù)學(xué)史上一位數(shù)學(xué)天才高斯誕生了,她讓數(shù)論進(jìn)入了一個(gè)全新得時(shí)代，還有繼高斯之后得庫莫爾，高斯與庫莫爾對(duì)于二次域與分圓域所做得深刻研究，成為用深刻代數(shù)工具研究數(shù)論問題得奠基性工作,由此產(chǎn)生了代數(shù)論,這時(shí)世界數(shù)論中心也由法國轉(zhuǎn)到了德國。最開始高斯就是從這樣一個(gè)例子引發(fā)研究得，例如都就是整數(shù),并且能被整除,那么這時(shí)就說與關(guān)于模就是同余得,高斯將這一事實(shí)記為(mｏd），它也稱為同余式。對(duì)于模相同得同

　余式,可以像等式那樣來處理。再比如 a≡b 與可以得出：

　(ｍod) 顯然,我們也可以求包含未知量得同余式得解，例如，求得值使它滿足（ｍod12）、這個(gè)同余式方程沒有解,因?yàn)榫褪瞧鏀?shù)，12 就是偶數(shù),所以不可能被１2 整除。

　高斯特別研究了≡(ｍod)(其中就是素?cái)?shù),不就是得倍數(shù))這種同余式方程.如果它有解,就稱就是得二次剩余,否則稱就是得二次非剩余。關(guān)于二次剩余與二次非剩余,于此有一個(gè)定理與之相聯(lián)系，高斯稱之為二次互反律：

　設(shè)與時(shí)兩個(gè)相異得奇素?cái)?shù)，如果乘積()()就是偶數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)(mｏd）有解時(shí)，(mｏｄ)有解；如果上述乘積就是奇數(shù),則當(dāng)且僅當(dāng)(mod)無解時(shí)，(mｏd)有解。利用勒讓德后來引入得一個(gè)記號(hào)():

　還可以表示成以下形式:

　高斯非常欣賞這個(gè)定律，并把它譽(yù)為“算術(shù)中得寶石”,而且在她得一生中至少給出過二次互反律 8 個(gè)不同得證明．高斯在證明了二次互反律之后,試圖將它推廣到三次與四次互反律,但她之后發(fā)現(xiàn)為使三次與四次剩余得理論簡單、優(yōu)美,就必須超出通常得整數(shù)范圍,引進(jìn)復(fù)整數(shù)，即形如,其中就是整數(shù)得復(fù)數(shù).對(duì)于復(fù)整數(shù)可以像處理普通數(shù)那樣討論它得數(shù)論性質(zhì)。比如：在普通整數(shù)數(shù)論中,可逆元素 1 與-１,復(fù)整數(shù)論中得可逆元素則就是與.一個(gè)復(fù)整數(shù)如果不能分解為除可逆元素及其本身以外得復(fù)整數(shù)得乘積，就稱為一個(gè)復(fù)素?cái)?shù).因此，在復(fù)整數(shù)論中,由于,所以它不再就是一個(gè)素?cái)?shù)，但3 仍就是一個(gè)素?cái)?shù)。另外，在普通數(shù)論中，有一個(gè)重要得算術(shù)基本定理,即每一個(gè)整數(shù)都可以唯一地分解為素因子得乘積．高斯發(fā)現(xiàn),如果不把四個(gè)可逆元素作為不同得因數(shù)，那么這個(gè)定理對(duì)于復(fù)整數(shù)也就是成立得,為此高斯得復(fù)整數(shù)理論又開辟了數(shù)論得一個(gè)新天地。[5]

�。�、２代數(shù)數(shù)論得發(fā)展

　 在高斯之后庫默爾也對(duì)代數(shù)數(shù)論做出了很大貢獻(xiàn),她得工作與證明費(fèi)馬大定理相關(guān)。在費(fèi)馬大定理中，如果就是任一大于２得整數(shù),則方程不存在滿足得整數(shù)解。

　庫默爾得做法就是去考慮了,就是奇素?cái)?shù)得時(shí)候，因?yàn)橘M(fèi)馬大定理可以歸結(jié)為與兩種情況,而=4 費(fèi)馬本人已經(jīng)證明。庫默爾把寫成，并將等式右邊分解成一次因式得乘積: ， 其中 ζ 就是一個(gè)次本原單位根，也就就是方程：

　得一個(gè)根。這就引導(dǎo)庫默爾將高斯得復(fù)整數(shù)理論推廣到形如:

　得數(shù),其中每個(gè)都就是普通整數(shù)。庫默爾在 1844—1８4７年間又創(chuàng)立了理想數(shù)得理論,后來德國數(shù)學(xué)家戴德金又把庫默爾得工作系統(tǒng)化并將其推廣到一般得代數(shù)數(shù)域,從而創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)得理論。

　如果一個(gè)數(shù)就是整系數(shù)代數(shù)方程：

　得根，但不就是次數(shù)低于得這種方程得根,就稱它就是一個(gè)次代數(shù)數(shù),假如,則稱就是一個(gè)次代數(shù)整數(shù).戴德金引入得一個(gè)重要概念就是數(shù)域,一個(gè)數(shù)域就是這樣一些實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)組成得集合,其滿足一下條件: 如果,則。

　可知全體代數(shù)數(shù)得集合形成一個(gè)域，但就是作為代數(shù)數(shù)論研究對(duì)象得代數(shù)數(shù)域則就是指這個(gè)域得一個(gè)子域,其可以瞧作就是由有理數(shù)域添加進(jìn)有限個(gè)代數(shù)數(shù)擴(kuò)充而成．在將代數(shù)數(shù)得概念一般化后,戴德金就用了一種不同于庫默爾得做法來重建代數(shù)數(shù)域中得唯一因子分解定理，她引進(jìn)了代數(shù)數(shù)來代替理想數(shù)。之后還有狄利克雷在此理論基礎(chǔ)上也加以完善，到了 1898年,德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特在中對(duì)于各種代數(shù)數(shù)域得性質(zhì)加以系統(tǒng)總結(jié)與發(fā)展,經(jīng)過整整１０0 年,經(jīng)典代數(shù)數(shù)論由此定型。[6]

　3 3 、解析數(shù)論

�。�、1 1 解析數(shù)論得基礎(chǔ)

　19 世紀(jì)，數(shù)論得到了重大得進(jìn)步,其主要標(biāo)志就是深刻得解析方法與代數(shù)工具引入數(shù)論當(dāng)中，產(chǎn)生了數(shù)論得兩個(gè)新分支:解析數(shù)論與代數(shù)數(shù)論.解析數(shù)論就是利用數(shù)學(xué)分析主要就是復(fù)分析得方法來解決數(shù)論問題得,就是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來解決數(shù)論問題得分支。數(shù)學(xué)分析就是以函數(shù)作為研究對(duì)象得、在極限概念得基礎(chǔ)上建立起來得數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來解決數(shù)論問題由歐拉奠基，俄國數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對(duì)它得發(fā)展做出過貢獻(xiàn)。解析數(shù)論就是解決數(shù)論中艱深問題得強(qiáng)有力得工具。比如，對(duì)于“質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法得證明,其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無窮級(jí)數(shù)得若干知識(shí)。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性得提出了“三角與方法”，這個(gè)方法對(duì)于解決某些數(shù)論難題有著重要得作用。中國數(shù)學(xué)家陳景潤在解決“哥德巴赫猜想"問題中也使用得就是解析數(shù)論得方法。而解析數(shù)論得創(chuàng)始人為德國數(shù)學(xué)家黎曼,不過其發(fā)展源頭要上溯到歐拉.早在 1737 年,歐拉在研究無窮級(jí)數(shù)與無窮乘積得收斂性時(shí),發(fā)現(xiàn)對(duì)于大于１得實(shí)數(shù) s,有等式:

　( ＊ ) 其中無窮乘積中就是所有素?cái)?shù)。事實(shí)上,這個(gè)等式等價(jià)于算術(shù)基本定理,這就把數(shù)論與解析公式——級(jí)數(shù)聯(lián)系在一起了，若取,由于上式左邊就是發(fā)散得,可知右邊得素?cái)?shù)有無限多個(gè),這就是由解析特性推出數(shù)論結(jié)果得最簡單得例子。狄利克雷也沿用這種方法，構(gòu)造出了一批新得函數(shù) L,從它們得解析特性得到了不平凡得結(jié)果:若與為互素得正整數(shù),則算術(shù)級(jí)數(shù)中一定有無限多個(gè)素?cái)?shù)。

　1８59 年,黎曼發(fā)表了一篇關(guān)于不大于 ｘ 得素?cái)?shù)個(gè)數(shù) π ( x ）得著名論文——《論不大于一個(gè)給定值得素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》,這就是她在數(shù)論方面公開發(fā)表得惟一得文章。她把恒等式(*)得右邊得級(jí)數(shù)記作 ζ ( s ），所不同之處就是把 ｓ 瞧作復(fù)變數(shù)。現(xiàn)在稱 ζ （ ｓ )為黎曼 ζ 函數(shù)。她認(rèn)為素?cái)?shù)性質(zhì)可以通過復(fù)變函數(shù) ζ ( ｓ ）來探討,并對(duì)復(fù)變函數(shù) ζ ( s ）做了深刻得研究，得到許多重要結(jié)果.特別就是她建立了一個(gè)與 ζ （ s )得零點(diǎn)有關(guān)得表示 π ( x )得公式.因此研究素?cái)?shù)分布得關(guān)鍵在于研究復(fù)變函數(shù) ζ ( s ）得性質(zhì),特別就是 ζ ( s )得零點(diǎn)性質(zhì).這一杰出得工作,就是

　復(fù)變函數(shù)論得思想與方法應(yīng)用于數(shù)論研究得結(jié)果.黎曼開創(chuàng)了解析數(shù)論得新時(shí)期,也推動(dòng)了單復(fù)變函數(shù)論得發(fā)展.在文章中她提出了一個(gè)猜想: ζ ( s )得所有復(fù)零點(diǎn)都在直線 Re s ＝1/2 上，這就就是所謂黎曼猜想。它就是至今沒有解決得最著名得數(shù)學(xué)問題之一.它得研究對(duì)解析數(shù)論與代數(shù)數(shù)論得發(fā)展都有極其深刻得影響。

　［7]

　 3 3 、２解析數(shù)論得發(fā)展

　18９6 年,阿達(dá)馬與瓦萊、普桑根據(jù)黎曼得方法與結(jié)果，應(yīng)用整函數(shù)理論，終于證明了素?cái)?shù)定理,從此解析數(shù)論開始得到迅速發(fā)展，并成為二十世紀(jì)最為活躍得數(shù)論分支之一。在數(shù)論中應(yīng)用分析方法,大致有兩種情況:一就是數(shù)論問題本身不涉及分析概念,這類問題又可分為兩種情形，或者有一些問題不應(yīng)用分析方法就不能解決,例如,上述得狄利克雷得兩個(gè)工作、三素?cái)?shù)定理(見數(shù)論、堆壘數(shù)論)、華林問題;或者有一些問題應(yīng)用分析方法可使證明簡單、可以對(duì)問題做定量研究，例如,應(yīng)用母函數(shù)法對(duì)整數(shù)分拆得一些恒等式得證明、歐拉證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)得分析方法導(dǎo)致 H、默滕斯證明了關(guān)于素?cái)?shù)平均分布得三個(gè)定理、堆壘數(shù)論得許多問題引入分析方法證明解得存在性，得出解數(shù)得漸近公式或上下界估計(jì)。二就是數(shù)論問題本身必須用分析概念才能表達(dá)清楚。例如,關(guān)于素?cái)?shù)定理,即不大于得素?cái)?shù)個(gè)數(shù)等于多少得問題。此外,利用分析概念還可提出新得數(shù)論問題，例如各種數(shù)論函數(shù)得階估計(jì)及均值估計(jì)。

　解決一個(gè)數(shù)論問題需要用到多深得分析工具，或者能否不用分析工具,這也就是數(shù)學(xué)家努力為之探索得問題.例如，在1949 年 A、賽爾伯格與 P、愛爾特希不利用函數(shù),且除了極限與對(duì)數(shù)得性質(zhì)外,也不需要其她得分析知識(shí),給出了素?cái)?shù)定理一個(gè)十分初等得分析證明，當(dāng)然它就是很復(fù)雜得。

�。�8]

　中國現(xiàn)代數(shù)論研究始于楊武之,她就是美國著名數(shù)論專家狄克遜得學(xué)生，專攻堆壘數(shù)論難題,證明了將正整數(shù)表為 9 個(gè)某種類型得三次多項(xiàng)式之與，１9２8 年獲博士學(xué)位。回國后任清華大學(xué)教授,并代理過算學(xué)系主任。

　華羅庚于１9３1 年到清華大學(xué)工作后曾聽過楊武之得“群論”課，并跟楊武之學(xué)習(xí)數(shù)論。她受楊武之得指導(dǎo)，學(xué)習(xí)與研究哈代與李特爾伍德有

　關(guān)堆壘數(shù)論嶄新得分析方法—圓法,自 193４年起開始發(fā)表以數(shù)論為主要內(nèi)容得研究論文。１93８年解決了任意多項(xiàng)式,系數(shù)為整數(shù)得一般完整三角與得最佳估計(jì)，為推進(jìn)華林問題得解決提供了有效得工具。華羅庚關(guān)于三角與得積分平均估計(jì)被稱為“華氏不等式”，她關(guān)于維諾格拉多夫方法得改進(jìn)與簡化工作影響也很大。1９４0 年華羅庚完成專著《堆壘素?cái)?shù)論》（１９47年俄文版,195３年中文版）,系統(tǒng)總結(jié)與發(fā)展了圓法與三角與估計(jì)法,其主要結(jié)果長期居世界領(lǐng)先地位。她得另外兩本著作《數(shù)論導(dǎo)引》(１957）與《數(shù)論在近似分析中得應(yīng)用》（19７8，與王元合作，其中得結(jié)果被稱為“華一王方法”）分別成為數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用得優(yōu)秀讀本。

　華羅庚培養(yǎng)了一批頗有成就得學(xué)生。其中閡嗣鶴于 194０年隨華羅庚研究數(shù)論,后赴英國深造，1９４7 年獲牛津大學(xué)博士學(xué)位，1948 年回國,先后執(zhí)教于清華大學(xué)與北京大學(xué)。194９年以后華羅庚與閡嗣鶴在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所領(lǐng)導(dǎo)一個(gè)討論班,先后參加得有陳景潤、王元、潘承洞等人,形成中國解析數(shù)論學(xué)派得鼎盛時(shí)期。討論班主要研究數(shù)論,特別就是哥德巴赫猜想,王元于 1957 年證明了｛2，3｝，1９62 年潘承洞證明了｛１,５}，同一年王元與潘承洞證明了{(lán)1,4}。1９６6 年陳景潤發(fā)表｛1,2｝得證明報(bào)告，1973 年發(fā)表證明全文，成為迄今為止得最好結(jié)果．中國解析數(shù)論學(xué)派為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)得發(fā)展起了重要得推動(dòng)作用,影響深遠(yuǎn)。

　4 4 、結(jié)語

　數(shù)論就是數(shù)學(xué)中最古老得一個(gè)學(xué)科。不過長期以來, 數(shù)論一直就是以純粹數(shù)學(xué)得身份出現(xiàn)在數(shù)學(xué)得大家庭中得, 以至于后來很多數(shù)學(xué)家包括許多著名數(shù)學(xué)家(如Harｄy、Dickｓon 等)都對(duì)數(shù)論得純粹性與優(yōu)美性津津樂道, 而對(duì)其應(yīng)用性卻忽略不計(jì)甚至極力抵制。當(dāng)然， 隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)得深入發(fā)展， 數(shù)論得這種純粹性與無應(yīng)用性得面貌已經(jīng)得到了大大得改觀。今天, 數(shù)論已經(jīng)在很多領(lǐng)域中有著廣泛而深入得應(yīng)用,數(shù)論一方面大量地應(yīng)用著其它數(shù)學(xué)領(lǐng)域中得研究成果與工具, 比如分析、幾何、代數(shù)、概率、組合等領(lǐng)域中得很多艱深理論與有力工具， 并由此產(chǎn)生出一批新興得邊緣學(xué)科, 如解析數(shù)論、幾何數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、概率數(shù)論、組合數(shù)論, 算術(shù)代數(shù)幾何以及計(jì)算數(shù)論等等。另一方面, 也

　就是重要得一個(gè)方面, 就是數(shù)論能將它本身得大量研究成果廣泛而深入地應(yīng)用到包括數(shù)學(xué)在內(nèi)得其它許多領(lǐng)域中。如計(jì)算、密碼、物理、化學(xué)、生物、工程、聲學(xué)、電子、通訊甚至音樂等領(lǐng)域中,并由此產(chǎn)生出一門全新得應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科—-應(yīng)用數(shù)論。所以, 在今天, 數(shù)論已不再僅僅就是一門純粹學(xué)科， 而且也就是一門名副其實(shí)得應(yīng)用學(xué)科。從數(shù)論在目前得發(fā)展趨勢(shì)與應(yīng)用情況來瞧, 數(shù)論這個(gè)古老得學(xué)科必將老當(dāng)益壯, 煥發(fā)出新得青春與活力， 并將重登數(shù)學(xué)皇后得寶殿! 如今數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)與密碼學(xué)中, 尤其就是在網(wǎng)絡(luò)與信息安全中得應(yīng)用與在計(jì)算機(jī)科學(xué)與密碼學(xué)中得應(yīng)用得更多。［9］ 參考文獻(xiàn)

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