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        積分歷史

        發(fā)布時間:2017-01-25 來源: 歷史回眸 點擊:

        積分歷史篇一:微積分的歷史

        微積分的歷史

        趙子番 PB07210204

        我們學(xué)習(xí)了一年的微積分學(xué)了,對整個微積分的框架已經(jīng)了一定的掌握,首先學(xué)習(xí)函數(shù)的極限,進而學(xué)習(xí)了單變量與多變量函數(shù)的微分學(xué)與積分學(xué),場論,級數(shù),傅立葉分析,最后學(xué)習(xí)了解微分方程。當(dāng)我們再回首時,感覺自己學(xué)到了很多東西,很有一種成就感?墒羌毤毾雭,總覺得缺點什么。猛然發(fā)現(xiàn),我們對數(shù)學(xué)或者說微積分史了解得太少了,書上的大部分定理、公式均冠以創(chuàng)立者之名,但均不加以注釋,以至于我們不知其為何許人也。

        所以筆者認為,只有對微積分發(fā)展歷史有所了解,才會對這個學(xué)科有更深入更全面的認識。知道千百年來先輩們是怎樣經(jīng)過艱苦卓絕的奮才取得的今天的成果,必然會對他們肅然起敬。

        經(jīng)各種途徑的搜集整理,現(xiàn)向同學(xué)們介紹幾位在微積分史上有過豐功偉績的幾位數(shù)學(xué)大家。

        首先介紹一下笛卡爾。恩格斯曾這樣評價過笛卡爾:數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運動進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辨證法進入了數(shù)學(xué),有了數(shù)學(xué),微分和積分也就立刻成為必要的了。可以這樣說,笛卡爾是微積分學(xué)的開山鼻祖。

        笛卡爾是法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家、生理學(xué)家。1596年3月31日生于圖倫省埃拉;1650年2月11日卒于瑞典斯德哥爾摩。笛卡爾自幼養(yǎng)成了寧靜好思的習(xí)慣,他對周圍的世界充滿了好奇心。笛卡爾對數(shù)學(xué)的最大貢獻是創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。他認為數(shù)學(xué)比其他科

        學(xué)更符合理性的要求。他是以下列三種身份的結(jié)合來研究數(shù)學(xué)的。作為哲學(xué)家、作為自然界的探索者,作為一個關(guān)心科學(xué)用途的人。它的基本思想是建立起一種普遍的數(shù)學(xué),使算數(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他曾經(jīng)說過:“我決心放棄那種僅僅是抽象的幾何,這就是說,不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思維的問題。我這樣做,是為了研究另一種幾何,即目的在于揭示自然現(xiàn)象的幾何!钡芽栐趲缀螌W(xué)所闡發(fā)的思想,被MILL稱作“精密科學(xué)進步中最偉大的一步”。

        笛卡爾的理論以兩個觀念為基礎(chǔ):坐標(biāo)觀念和利用坐標(biāo)方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。笛卡爾的功績是把數(shù)學(xué)中的兩個研究對象“形”與“數(shù)”統(tǒng)一起來,并在數(shù)學(xué)中引入變量,完成了數(shù)學(xué)史上一項劃時代的變革。正是基于此,也就有了恩格斯上述對笛卡爾的評價。

        應(yīng)當(dāng)指出,笛卡爾的坐標(biāo)系是不完備的,他未曾引入第二條坐標(biāo)軸,即y軸。另外,笛卡爾也沒考慮橫坐標(biāo)的負值。當(dāng)然,我們不能苛求過多,任何事物都是在不斷發(fā)展中逐步完善的。

        笛卡爾孜孜不倦,勤于思考,他不喜歡讀帶有詳細解釋的科學(xué)論著。他讀書的方法是把書拿來后,先弄清作者的主要意圖,他只讀完開頭部分,而那些應(yīng)由作者得出的結(jié)論,他總是力求自己得出。

        不僅僅在自然科學(xué)上笛卡爾取得的成就令我們欽佩,在感情上笛卡爾做到了禁欲,終身未娶。

        笛卡爾有句名言:天下之理,非見之極明,勿遽下斷言。他還強調(diào):沒有正確的方法,即使有眼睛的博學(xué)者也會向瞎子一樣盲目探索。

        笛卡爾之后,又出現(xiàn)了一批偉大的數(shù)學(xué)家,比如費馬,托里拆利、帕斯卡、惠更斯,還有對微積分學(xué)做出巨大貢獻的牛頓、萊布尼茨。牛頓-萊布尼茨公式?b

        a由于對這兩f(x)dx?F(x)|a貫穿了整個微積分學(xué)。b

        人大家耳熟能詳,故不作過多介紹。

        牛頓、萊布尼茨之后,歷史迎來了偉大的泰勒?巳R因曾評價泰勒說:“泰勒實際上是用無窮小量進行運算,同萊布尼茨一樣認為其中沒有什么問題!边@實際上是在評價泰勒的偉大貢獻之一—泰勒級數(shù)。 泰勒1685年生于英國埃德蒙頓;1731年12月29日卒于倫敦。泰勒幼年之青年一段時間的求學(xué)這路很平坦順利。泰勒和牛頓、哈雷都是親密的朋友,也是牛頓流數(shù)法的一位擁護者和推廣者。

        泰勒1715年出版了《增量法及其逆》,在本書中“他力圖搞清微積分的思想,但他把自己局限于代數(shù)函數(shù)和代數(shù)微分方程!钡麤]有意識到,在處理無窮級數(shù)時,必須先考慮他的收斂性。開始,泰勒級數(shù)的重要性并未引起人們的注意,直到1755年歐拉把泰勒級數(shù)用于他的微分學(xué)時才認識到其價值;稍后拉格朗日用帶余項的級數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎(chǔ),從而進一步確定泰勒級數(shù)的重要地位。1880年,維爾斯特拉斯又把泰勒級數(shù)引進為一個基本概念,用現(xiàn)代術(shù)語來講,泰勒級數(shù)是解析函數(shù)芽。

        泰勒對科學(xué)的貢獻本質(zhì)上要比那個以他的姓氏命名的級數(shù)大得多。他在《皇家社會報》上發(fā)表過關(guān)于物理學(xué)、動力學(xué)、流體動力學(xué)、磁學(xué)和熱學(xué)方面的論文。他還是一位多才多藝,富有才華的音樂家和畫家。

        但成年之后的泰勒人生病不如意,一聲深受疾病即悲劇事件的困擾。第一個妻子因出身貧寒而遭到具有門閥觀念的父親的冷遇,導(dǎo)致父子之間激烈的爭吵與不合,妻子不久死于分娩。第二個妻子后來亦死于分娩。愛妻的不幸逝世、父子的不和、疾病的折磨使他痛苦不堪。到了晚年,為了解脫,便把精力與愛好轉(zhuǎn)向了宗教與神學(xué)。

        在這種困難異常的情況下,泰勒仍然取得如此巨大的成就,實在令我們這些花前月下的大學(xué)生們感到慚愧。

        泰勒之后,又出現(xiàn)了斯特林、邁克勞林、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等一大批對數(shù)學(xué)產(chǎn)生過深遠影響的數(shù)學(xué)家。可以說,是他們,推動了整個世界、整個人類的發(fā)展與進步。

        其實我們很有必要去了解一下微積分的歷史,龐加萊曾說:如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的未來,適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)在。的確,只有了解了微積分的歷史,了解了那些偉大數(shù)學(xué)家們的鉆研精神,我們才能夠以一種更為闊達的心態(tài)去學(xué)習(xí)微積分,去學(xué)好微積分。

        積分歷史篇二:微積分的歷史

        微積分的歷史

        從微積分成為一門學(xué)科來說,是在十七世紀,但是,微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

        公元前三世紀,古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說,早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣!边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

        到了十七世紀,有許多科學(xué)問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的,也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。十七世紀的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。

        十七世紀下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個是切線問題,一個是求積問題。

        牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量,因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析,這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。

        牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的,否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量,把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是:已知連續(xù)運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

        德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者,1684年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻,這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用于分式和無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章,卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻。他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號,遠遠優(yōu)于牛頓的符號,這對微積分的發(fā)展有極大的影響,F(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的。

        牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上,其說不一,十分含糊。牛頓的無窮小量,有時候是零,有時候不是零而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷,最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。

        直到19世紀初,法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對微積分的理論進行了認真研究,建立了極限理論,后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化,使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。

        積分歷史篇三:微積分產(chǎn)生的歷史背景

        微積分產(chǎn)生的歷史背景

        數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運動進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成(來自:smilezhuce.com 蒲公 英文 摘:積分歷史)為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生,并且是有牛頓和萊布尼茲大體上完成的,但不是由他們發(fā)明的。

        恩格斯

        從15世紀初歐洲文藝復(fù)興時期起,工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展,形成了一個新的經(jīng)濟時代,宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑,東方先進的科學(xué)技術(shù)通過阿拉伯的傳入,以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流入歐洲,在當(dāng)時的知識階層面前呈現(xiàn)出一個完全斬新的面貌。而十六世紀的歐洲,正處在資本主義萌芽時期,生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展,生產(chǎn)實踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題,迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展,而這些學(xué)科都是深刻依賴于數(shù)學(xué)的,因而也推動的數(shù)學(xué)的發(fā)展。科學(xué)對數(shù)學(xué)提出的種種要求,最后匯總成車個核心問題:

        (1) 運動中速度與距離的互求問題(幾何演示)

        即,已知物體移動的距離S表為時間的函數(shù)的公式S=S(t),求物體在任意時刻的速度和加速度;反過來,已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式,求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現(xiàn)的,困難在于,所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如,計算物體在某時刻的瞬時速度,就不能象計算平均速度那樣,用運動的時間去除移動的距離,因為在給定的瞬間,物體移動的距離和所用的時間是0,而0/0是無意義的。但是,根據(jù)物理,每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度,這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題,也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化,所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度,來得到物體移動的距離。

        (2) 求曲線的切線問題(幾何演示)

        這個問題本身是純幾何的,而且對于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光學(xué)是時十七世紀的一門較重要的科學(xué)研究,透鏡的設(shè)計者要研究光線通過透鏡的通道,必須知道光線入射透鏡的角度以便應(yīng)用反射定律,這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角,而法線是垂直于切線的,所以總是就在于求出法線或切線;另一個涉及到曲線的切線的科學(xué)問題出現(xiàn)于運動的研究中,求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向,即軌跡的切線方向。

        (3) 求長度、面積、體積、與重心問題等(幾何演示)

        這些問題包括,求曲線的長度(如行星在已知時期移動的距離),曲線圍成的面積,曲面圍成的體積,物體的重心,一個相當(dāng)大的物體(如行星)作用于另一物體上的引力。實際上,關(guān)于計算橢圓的長度的問題,就難住數(shù)學(xué)家們,以致有一段時期數(shù)學(xué)家們對這個問題的進一步工作失敗了,直到下一世紀才得到新的結(jié)果。又如求面積問題,早古希臘時期人們就

        用窮竭法求出了一些面積和體積,如求拋物線y?x2在區(qū)間[0,1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S,他們就采用了窮竭法。當(dāng)n越來截越小時,右端的結(jié)果就越來越接近所求的面積的精確值。但是,應(yīng)用窮竭法,必須添上許多技藝,并且缺乏一般性,常常得不到數(shù)字解。當(dāng)Archimedes的工作在歐洲聞名時,求長度、面積、體積和重心的興趣復(fù)活了。窮竭法先是逐漸地被修改,后來由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。

        (4) 求最大值和最小值問題(幾何演示)

        炮彈在炮筒里射出,它運行的水平距離,即射程,依賴于炮筒對地面的傾斜角,即發(fā)射角。一個“實際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀初期,Galileo斷定(在真空中)最大射程在發(fā)射角是45?時達到;他還得出炮彈從各個不同角度發(fā)射后所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題,例如求行星離開太陽的最遠和最近距離。

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