漫談數(shù)學(xué)史
發(fā)布時(shí)間:2020-05-19 來源: 美文摘抄 點(diǎn)擊:
1.16世紀(jì)前是常量數(shù)學(xué),中學(xué)教授的除解析幾何外沒有變量,特點(diǎn)有二,一是研究對(duì)象是常 量,二是運(yùn)算次數(shù)是有限的。
2.17世紀(jì),笛卡爾開創(chuàng)代數(shù)方法,引進(jìn)坐標(biāo),研究變量,研究運(yùn)動(dòng),17世紀(jì)下半葉,微積 分為主的變量數(shù)學(xué)最為發(fā)達(dá),微積分占統(tǒng)治地位,并且解決了許多問題,特別是天體力學(xué) 和光學(xué)方面的問題。如觀察月球軌道,探照燈,望遠(yuǎn)鏡、慧星預(yù)測(cè)都是與之直接關(guān)連的。
18世紀(jì)很多學(xué)科蓬勃興起。
3.近代數(shù)學(xué),從19世紀(jì)到二戰(zhàn),隨著物理學(xué)的深入,熱光等看不見摸不著的東西為數(shù)學(xué)提出 了新的要求,而且微積分也需要嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。有三大特點(diǎn):1 分析數(shù)學(xué),實(shí)無限,潛無 限概念。自然數(shù),實(shí)數(shù)作為實(shí)體引進(jìn)到數(shù)學(xué)。自然數(shù)集的個(gè)數(shù)等于偶數(shù)集元素個(gè)數(shù),而偶數(shù) 集的元素是自然數(shù)集元素的部分,那么整體大于局部就不對(duì)了。
2 幾何:非歐幾何的發(fā)展 ,三角形三內(nèi)角和不等于180度 。
3 代數(shù),與過去的解方程求根不同,提出了代數(shù)結(jié)構(gòu)。
同時(shí)這一時(shí)期出現(xiàn)大學(xué),突破了沙龍,推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展。
4.現(xiàn)代數(shù)學(xué):二戰(zhàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,主要表現(xiàn)在以下幾方面:
a計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的沖擊,算盤可看作是手的延長,計(jì)算機(jī)是思維的延長,利用計(jì)算機(jī)提出數(shù) 學(xué)問題,檢驗(yàn)證明。
b 邊緣科學(xué)的發(fā)展 3 全方法滲透
二、分類
1 分析、幾體、代數(shù)是19世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大支柱
2 確定性數(shù)學(xué)和隨機(jī)性數(shù)學(xué)
3 本世紀(jì)30年代法國數(shù)學(xué)家提出結(jié)構(gòu)方法,代數(shù)、拓補(bǔ)和序結(jié)構(gòu),這種分類是做出來的數(shù)學(xué) ,不可能包括全部數(shù)學(xué),非結(jié)構(gòu)性數(shù)學(xué)研究可能性,是自在的數(shù)學(xué)。
三、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力:
1 實(shí)踐推動(dòng)數(shù)學(xué)
2 內(nèi)部矛盾推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展,連續(xù)與離散。光的波粒二重性,利用直線認(rèn)識(shí)曲線周長等。
3 追求美、追求完美推動(dòng)數(shù)學(xué)。希臘時(shí)代就提出了二次曲線,到17世紀(jì)才用上,因?yàn)橛辛送暾?的體系,并且在求根公式里加進(jìn)了虛數(shù)。
4 智力游戲的挑戰(zhàn),如著名的一筆劃問題。
5 推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次革命性行為。
1。無理數(shù)打破有理數(shù)統(tǒng)治世界的局面,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)是有理數(shù)可描述一切,有人提 出正方形對(duì)角線是非有理數(shù)。
2 微積分的邏輯不清楚,牛頓的一個(gè)方式為s(t)=t*t
那么(s(t+△t-s(t)))/△t=2t+△t 其中△t為無窮小
可以忽略,可是如果 為0, 那么前面的被除數(shù)就是0, 這是無意義的,對(duì)于△t也引起了一場(chǎng)危機(jī)。
3 集合論 集合論的祖先康德,集合是把滿足一定條件性質(zhì)的對(duì)象放在一起,康德提出 了三個(gè)性質(zhì),概括性,外延性,選擇性。羅素說到,有一個(gè)集合,凡是包括了個(gè)以上元素的 集合是這集合的元素,那么這一集合有沒有屬于自己的元素呢,如果屬于,可以推出不屬于 ,如果不屬于,可以推出屬于這就是一個(gè)悖論。
右腳鞋是一個(gè)集合,右腳襪呢?因?yàn)橐m不分左右。
還有無窮個(gè)數(shù)的比較,全體實(shí)數(shù)大于自然數(shù),那么中間是否有數(shù)。
一個(gè)圓分成有限塊后可以組成長方形,一個(gè)球可以分為兩個(gè)同體積的球。
6 三大主義
1 直覺主義:以荷蘭數(shù)學(xué)家為首,數(shù)學(xué)的真理要靠直覺,不承認(rèn)存在性定理,證明存在卻無 法求知是不可靠的。
2 邏輯定義:以羅素為代表,邏輯是數(shù)學(xué)青年時(shí)代,數(shù)學(xué)是邏輯的壯年時(shí)代,邏輯公理化。
3 形式主義;
認(rèn)為概念沒有意義,形式才重要,提出了一套高度抽象的符號(hào)系統(tǒng),把幾何關(guān)系 合理化,合理系統(tǒng)是互相獨(dú)立的。有相容性,完全性,但有人指出,這是矛盾的,任何相容 的體系都不完全,實(shí)際上是相容性本來不能判定。
有人希望借助一種方法來判定一個(gè)命題是可判定還是不可判定,否則還會(huì)有很多精力浪廢 在不可判定的命題上。
四、數(shù)學(xué)的特征
1 高度抽象性:直接研究對(duì)象是思維,沒有背景。比如圓,研究的不是圓的東西,而是抽象 出來的圓的概念。
2 嚴(yán)密的邏輯性
3 應(yīng)用的個(gè)體性和統(tǒng)一性
五、數(shù)學(xué)的真理觀
1 客觀性:不同的地方可以有相同的結(jié)論。如中國和西方在沒有聯(lián)系的情況下相互獨(dú)立地得 勾股定理。
2 實(shí)踐性:數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物,又適用于實(shí)踐,時(shí)代的發(fā)展也推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展,數(shù)學(xué)是時(shí)代的 產(chǎn)物。
3 第 五公式:過直線外一點(diǎn)只能作一條平行線,由于這一公理無法以實(shí)踐來判定,所以歐 幾里德避免使用,許多數(shù)學(xué)家為了證明這一公耗廢了大量精力。
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