幾何的感悟
發(fā)布時間:2017-02-15 來源: 人生感悟 點擊： 
幾何的感悟篇一：圖形與幾何心得體會
面積的初步了解
物體的表面或封閉圖形的大小，叫做它們的面積。 “面積”這一知識屬于《數(shù)學課程標準》中空間與圖形領域的內(nèi)容。新課標中強調(diào)：在教學中，應注重使學生通過觀察、操作、推理等手段，逐步認識簡單幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及變換；應注重通過觀察物體、認識方向、制作模型、設計圖案等活動，發(fā)展學生的空間觀念。
“面積”的概念是學生學習幾何形體的基礎，因此要讓學生在具體生動的情境中感悟和理解這一概念學習的重要性和必要性。因做到以下幾點：
一、數(shù)學課堂教學緊密聯(lián)系生活
《數(shù)學課程標準》指出：“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的，有意義的，富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動。”學習內(nèi)容來自學生生活實際，在學生已有的經(jīng)驗的基礎上學習，可使學習更有效。因為，學習內(nèi)容貼近學生知識經(jīng)驗，符合學生心理特征，容易形成知識結(jié)構(gòu)，同時也充分體現(xiàn)了學習生活化的理念。面積的概念具有較強的抽象性，學生理解起來會有一定的難度，為了使學生較好地理解和掌握“面積”這個比較抽象的概念，我從生活入手，讓學生找生活中物體的面，感知物體的面有大有小，進行物體面的大小比較，通過物體面的大小比較揭示物體表面的面積。這樣層層深入，環(huán)環(huán)相扣，學生在不知不覺中理解了面積的含義，有種水到渠成的感覺。體現(xiàn)了現(xiàn)代教育思想
所倡導的“數(shù)學課堂教學應向?qū)W生提供與生活實際密切聯(lián)系的、有價值的、富有趣味的教學內(nèi)容”這一基本理念。
二、 關注估計不規(guī)則圖形的面積
教材中提供用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積，這些方法容易被教師們忽視，恰恰是這些細節(jié)影響學生最深。因為，現(xiàn)實生活中有很多物體并不像教材上那樣有規(guī)則。讓學生學會估計的方法更有價值，更能實現(xiàn)學以至用的目標，同時也是發(fā)展學生空間觀念的重要途徑之一。 從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)，引導學生把生活中對圖形的感受與空間存在的幾何圖形建立聯(lián)系，讓學生充分感受到數(shù)學和生活的聯(lián)系，體會到數(shù)學確實就在我們的身邊，更有效地發(fā)展學生的空間觀念。從而形成應用意識
總之，要準確理解教材的編排意圖，聯(lián)系學生的生活，按照學生的認知規(guī)律，合理重構(gòu)教材，通過多種途徑培養(yǎng)學生的空間觀念，形成應用意識，讓學生在廣闊的數(shù)學世界中遨游。
幾何的感悟篇二：初中數(shù)學幾何與圖形學習的心得體會
初中數(shù)學幾何與圖形學習的心得體會
通過學習了莊老師“圖形與幾何”的教學分析與案例評析專題講座后，我深有體會，就以下幾個方面談談感想：
一、空間觀念的培養(yǎng)
作為數(shù)學學習的核心內(nèi)容之一 ： 學生的空間觀念的培養(yǎng)，成為新課程的一大特色，《新課程標準》把“空間觀念”作為義務階段培養(yǎng)學生初步的創(chuàng)新精神和實踐能力的一個重要學習內(nèi)容。
傳統(tǒng)的幾何課程，內(nèi)容差不多都是和演繹證明，到了初中后，幾乎成了一門純粹的關于證明的學問。表面上看是遵循了“數(shù)學是思維的體操”這一傳統(tǒng)要求，但實際上學生的學習積極性、主動性在此過程中被無情地扼殺，數(shù)學應有的人文功能、應用功能得不到有效地發(fā)揮。尤其是錯過了培養(yǎng)學生空間觀念的最佳時期。事實上，空間觀念是創(chuàng)新精神所必需的基本要素，沒有空間觀念幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造。因為許許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設計者要先從自己的想象出發(fā)畫出設計圖，然后根據(jù)設計圖做出實物模型，再根據(jù)模型修改設計，直至最終完善成型。這是一個充滿豐富想象力和創(chuàng)造性的探求過程，這個過程也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換、利用直觀進行思考的過程，空間觀念在這個過程中起著至關生要的作用。所以，明確空間觀念的意義、認識空間觀念的特點、學生的空間觀念，對培養(yǎng)學生初步的創(chuàng)新精神和實踐能力是十分重要的。這就是《標準》把“空間觀念”作為義務教育階段重要學習內(nèi)容的原因。
按照《標準》描述的空間觀念的主要表現(xiàn)，其具體要求是：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能其中的基本元素及其關系；能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關系；能運用圖形形象地描述，利用直觀來進行思考．
在這一章的教學過程中，學生動手較多，親身體驗較多，因此在充分挖掘圖形的現(xiàn)實模型，充分讓學生動手操作，自主探索，合作交流，以積累有關圖形的經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念之外，還應讓學生有充分的思考和想象的空間。為此在學習之初，應鼓勵學生先動手，后思考；而以后，則應鼓勵學生先想象，再動手。例如，在開展正方體表面展開的教學時，可以讓學生先觀察正方體，再想象它的展開圖，并把腦子里所想的圖形畫出來，然后再來進行動手操作，這樣能充分驗證學生對圖形的空間想象力。
二、推理能力的培養(yǎng)
標準指出：學生通過義務教育階段的數(shù)學學習，“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。演繹推理就是我們熟知的三段論，而合情推理則是指借助歸納、類比、統(tǒng)計等手段得出結(jié)論。在初中階段它是我們問題和解決問題的重要手段。我們第二次教學幾何知識是在第四章“平面圖形及其位置關系”，這一章除了在探索圖形性質(zhì)、畫圖、拼擺圖形、
圖案設計的過程中，初步建立空間觀念，發(fā)展幾何直覺外，還要了解一些關于圖形的概念，如：直線、射線、線段、角、角度、周角、平角、鈍角、直角、銳角和相關的一些性質(zhì)，進行簡單的換算以及兩條直線平行和垂直關系等等。其實這些內(nèi)容小學里就已經(jīng)學過，這里只是要求學生在小學學過有關知識的基礎上能進一步系統(tǒng)地理解和掌握。
在第五章中，三角形是最簡單、最基本的幾何圖形，在生活中隨處可見，它不僅是其他圖形的基礎，在解決實際中也有著廣泛的。因此探索和掌握它的基本性質(zhì)對學生以后更好地認識現(xiàn)實世界，空間觀念和推理能力都是非常重要的。
本章中，課本為我們提供了很多現(xiàn)實的有趣的問題情境，使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界中抽象出幾何模型和運用所學解決實際問題的過程，豐富的例子力求使學生能體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系。多種形式的活動如測量、拼圖、折紙和設計圖案等，給了學生充分實踐和探索的空間。為學生空間觀念的發(fā)展，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，個性的發(fā)揮提供很好的機會。但我們在應用課本情境時，也要有一定的選擇和變動。
三、應用意識的培養(yǎng)
義務階段的數(shù)學學習，關于應用意識的刻畫，主要在以下三個方面。
1、認識現(xiàn)實生活中蘊涵著大量的數(shù)學信息，數(shù)學在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應用。
2、面對實際問題時能主動嘗試著用數(shù)學的角度，運用知識和尋求
解決問題的策略。
3、面對新的數(shù)學知識時，能主動尋找其實際背景，并探索其應用價值。
第七章是“生活中的軸對稱”。這一章的學習是為了讓學生欣賞體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用和豐富的文化價值。在豐富的現(xiàn)實情境中，經(jīng)歷觀察、折疊、剪紙、圖形欣賞與設計等數(shù)學活動過程，進一步發(fā)展空間觀念。同時結(jié)合現(xiàn)實生活中典型實例了解并欣賞物體的鏡面對稱，增進學習數(shù)學興趣。
在本章的教學中，我們會發(fā)現(xiàn)原來身邊有很多軸對稱現(xiàn)象，對此學生也有同感，他們不但能發(fā)現(xiàn)，而且還能自己進行設計，許多學生設計出了各種各樣的美麗圖案，然而在這一章中有一個較為重要的知識點：第三節(jié)“探索軸對稱的性質(zhì)”。當師生通過觀察并生活中的軸對稱現(xiàn)象，讓學生對軸對稱的性質(zhì)進行探索時，學生空間觀念的培養(yǎng)，推理能力的發(fā)展，對圖形美的感受等都在這些實踐活動中得到了逐漸的發(fā)展。
幾何的感悟篇三：談談我學習動態(tài)幾何的體會
談談我學習動態(tài)幾何的體會
彭翕成
華中師范大學 國家數(shù)字化學習工程技術研究中心 武漢 430079
這幾年，我發(fā)表了一些關于動態(tài)幾何的文章，出版了相關著作，也在網(wǎng)絡上共享了不少資源。因此常被人問起：如何學習動態(tài)幾何。國內(nèi)有許多研究動態(tài)幾何的高手，不論從技術，還是教學實踐中的使用，勝于我者不在少數(shù)。但我還是想來談談這個問題，算是個人總結(jié)吧。
很多軟件，譬如Word，功能很多，但只要知道了各個菜單的功能，使用起來就非常簡單了；那些不常用的功能甚至不需要記，用的時候搜索幫助文件就可以了。動態(tài)幾何軟件則不同，譬如幾何畫板，菜單不多，且每個下拉菜單的長度很短，二級菜單更是寥寥無幾。但這并不意味著幾何畫板就容易掌握，因為若干平凡功能的復合可能會變得不平凡。
我學習動態(tài)幾何，分為幾何畫板和超級畫板兩個階段。
我從2003年開始學習幾何畫板。自學，沒有老師，沒有教材，只是在網(wǎng)上下載了軟件和幾個課件。我花了一個星期的時間熟悉軟件，知道了哪個菜單下有哪些工具，這些工具能夠完成哪些功能，而要使用這些工具，需要先作什么。譬如希望作一個點在多邊形周界上運動，需要先選擇各頂點，構(gòu)造出多邊形內(nèi)部，才能作出多邊形周界上的點。
初學者最容易上手，也最容易被震撼的要數(shù)動態(tài)測量功能了。作一個幾何圖形，加上一些測量和計算，再拖動，就能從變化中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律。我當時已經(jīng)打算從事數(shù)學教育方面的工作了，覺得應該好好學習動態(tài)幾何，將之作為一技之長。但那時，自學能力較差，不知道如何去網(wǎng)上搜索資源，尋求幫助，于是之后的一年多時間都沒有什么大的進步。
記得有一次，我想作一個橢圓，想了好幾天，沒作出來，心里很是埋怨，難道幾何畫板只能作平面幾何圖形，不能運用于解析幾何么？最后還是在網(wǎng)上找到了作法。
還有一次，我想作“過圓外一點P作圓的切線”，想了很久，被我想出來了，開心不已。雖然說穿了是如此簡單：如圖1，連接OP，作中點M，以M為圓心，MO為半徑作圓交?O于N，則PN即為所求作的切線；不過就是用到“直徑所對的角是直角”這一簡單的知識點，但我后來的幾何畫板培訓實踐表明，如果以前沒有這方面的學習，能夠?qū)⑵綍r用來解題的知識點運用到作圖中來的人并不多。
圖1
2004年，我買了幾本幾何畫板的書，在網(wǎng)上也下載了一些資料，特別是我加入了當時積聚國內(nèi)眾多高手的幾何畫板論壇：求師德，通過學習高手的作品，我的水平有了較大的進步�，F(xiàn)在回想起來，幾何畫板的學習竅門也就兩點而已：不斷追溯父子對象；創(chuàng)建新工具，查看腳本。
在求師德論壇的日子是令人難忘的，這不僅僅是我個人的感受，也是許多動態(tài)幾何愛好者的心聲。求師德的網(wǎng)友，不論是對新手的教導，還是同水平的人切磋，都是坦誠相見，毫不保留，所以大家的水平上升得都很快。國內(nèi)一些中學數(shù)學網(wǎng)站，討論也頗為熱烈，但一遇到關鍵問題，高手們大都打住不講了，因為他們需要以此發(fā)表文章。求師德的網(wǎng)友鉆研技術的很多，熱衷于寫文章的好像很少。我曾經(jīng)建議求師德的高手們寫點文章，因為雜志上相當多的動態(tài)幾何文章所作研究并不深入，甚至可能會誤導人。可惜我的建議并不被多少網(wǎng)友接
受。求師德論壇后來關閉了，具體原因我不太清楚，這是讓很多動態(tài)幾何愛好者感到惋惜的。
2006年起，我開始轉(zhuǎn)向超級畫板的研究。超級畫板由于吸收了幾何畫板一些優(yōu)點，增加了很多功能，使得入門時間大大縮短，使用起來也更加方便。
不可避免地，我會對這兩個軟件進行比較。幾何畫板確實是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學軟件，但很多的設計還是可以改進的。就拿前面所說的作圓的切線來說，原始的尺規(guī)作圖方式有其存在的意義，但作為一個現(xiàn)代化的工具來說，其作法能否更加直接，效率進一步地提高呢？超級畫板的智能畫筆就做到了這一點。在保證動態(tài)幾何性質(zhì)的前提下，充分考慮中學老師的使用習慣，順手一畫即可完成任務。而且超級畫板并不否定尺規(guī)作圖法，用戶可以選擇原始方法來鍛煉基本功，也可以采用先進方法迅速作出基本圖形，進一步探究以求獲得新的知識。
又如作多邊形上的點，從數(shù)學上來說，選擇多邊形各個頂點就應該能夠作出了，何必一定要先構(gòu)造多邊形內(nèi)部呢？在這一問題上，超級畫板比幾何畫板更符合數(shù)學本質(zhì)。
至于原來讓我頭痛的幾何畫板探究圓錐曲線，在使用超級畫板之后也變得輕松了，因為超級畫板在解析幾何方面提供了相當強大的功能。近幾年，隨著動態(tài)幾何研究隊伍的擴大，網(wǎng)上這方面的資料越來越多了，隨便一搜，光是橢圓的作法，至少能搜出二十幾種。這些作法，了解一下是很有好處的，它與“茴字的四種寫法”有著本質(zhì)的不同。每一種作法都反映了圓錐曲線的某些性質(zhì)。掌握這些作法，對研究解析幾何大有裨益。但也必須注意到，由于幾何畫板缺少最根本的解析幾何作圖功能：輸入二次曲線方程作圖，這讓相當多的用戶苦惱。
高手們總是會想出各種方法來補救現(xiàn)有軟件的不足，他們的研究熱情，
學習動態(tài)幾何并不需要你有多高的計算機水平。培訓實踐表明，在最開始的入門階段，計算機老師比數(shù)學老師要快，而一旦過了這一階段，數(shù)學老師就遠遠地把計算機老師甩在后面。原因也很簡單，雖然軟件的操作是基礎，不掌握基本操作，很多想法都無法實現(xiàn)，但最終決定動態(tài)幾何水平高低的，還是看誰有扎實的數(shù)學功底，特別是平面幾何作圖方面。
在傳統(tǒng)幾何學習中，作圖與計算、證明三者的地位是并列的，而近些年，中學已經(jīng)大大刪減如何作圖了。為了學好動態(tài)幾何，我曾經(jīng)下功夫研究過一些作圖。譬如已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。我最早的作法是：如圖2，以C為圓心，分別以b、lc、a為半徑作圓；在半徑為b、a的圓上任取A、B兩點，在AB線段上作比例點D，使得DACA?；然后拖動B，使得D剛好落在半徑為lc的圓上。這樣作圖，顯然不符合動態(tài)幾DBCB
何作圖要求，因為一拖動就會散架，不能保持幾何性質(zhì)。但我覺得動態(tài)幾何的這種近似作圖也有其存在的意義，直到現(xiàn)在，面對這種幾何約束作圖，不少雜志社、出版社束手無策，隨手所作圖形差錯十分明顯。他們確實有學一下動態(tài)幾何的必要了。
我后來想出了此題的尺規(guī)作法，但在此處，我卻想著重介紹另外一題：在△ABC的BC邊上，作點M使得△ABM和△ACM的內(nèi)切圓半徑相等。我最初也是采用近似作法。為了得到準確作法，我問了不少人，沒人會做。查了很多資料，最后在一本40年代的幾何書上找到了作法（后來發(fā)現(xiàn)梁紹鴻的《初等數(shù)學復習及研究（平面幾何）》也有），才作出圖來。
圖2 圖3
作法：如圖3，
（1）BC的中垂線DE交△ABC的外接圓于E；
（2）作△ABC的內(nèi)心F；以E為圓心，EB為半徑作圓；FE交圓E于G；
（3）過A作GB的平行線交BF于H；過A作GC的平行線交CF于I；
（4）作AB關于AH的對稱直線交BC于M；
其中M即為題目所求。H、I分別為△ABM和△ACM的內(nèi)切圓圓心。
圖3作法巧妙，是很難想到的。也許有人會問：這個問題和動態(tài)幾何有什么關系呢？根本就是個數(shù)學題嘛！的確如此。因為我們研究動態(tài)幾何的根本目的就在于研究數(shù)學，而不是研究軟件本身。隨著軟件的發(fā)展，這種幾何約束作圖也會變得容易，譬如Geometry Expressions就在這方面已經(jīng)作出了相當不錯的嘗試。
接下來，我想嘗試回答一個問題。
一直以來，有人對動態(tài)幾何的作用提出質(zhì)疑，其典型觀點是：利用動態(tài)幾何軟件，不管是超級畫板還是幾何畫板，很多題目確實一作圖、一測量就出來結(jié)果了。但學生考試的時候，是不能使用計算機的，而且通過動態(tài)測量發(fā)現(xiàn)的也只是結(jié)果，沒有解題過程。
眾所周知，但凡能夠讓人產(chǎn)生依賴的東西必然有其獨特之處，譬如一本好的復習資料，一個好的家教，雖然有學生過分依賴好的復習資料和好的家教，上課聽課不認真了，但并不能因此就否定復習資料和家教的作用。
一件事物在一定條件下能夠發(fā)揮作用幫助到你，就說明它是有用的，這就夠了，我們不能求全責備，一定要它包打天下才行。就好比有人反對負數(shù)，理由是：你見過-1個人么？確實，我們沒有見過-1個人，但卻存在-1℃。這就說明負數(shù)有存在的意義。
下面這個案例應該能夠在一定程度上說明問題。
有學生問我這樣一個題目：如圖4，在正方形ABCD中，過點D作對角線AC的平行線，在平行線上作點E，使得CA?CE，CE交AD于F，求證：AE?AF。
圖4圖5
我給出的證明：如圖5，作EI?AC，設BD交AC于O，顯然四邊形EDOI是矩形，CE?CA?BD?2OD?2IE，所以?ACE?30?，易得?AEF??AEF?75?，所以AE?AF。
但此題并沒有到此結(jié)束，還可以探究。細心的讀者會發(fā)現(xiàn)圖5中作的垂足標簽為I，按常理，緊接下來的標簽應該是G！這是因為我看到題目時，就感覺圖4只是題目敘述的可能情況之一。一般的解題者對題目給出的圖形比較依賴；而長期使用動態(tài)幾何的人解題時，則會不自覺地去嘗試重新作圖，即使不動手，也會在心里面把作圖步驟走一遍。
對于此題，在作好正方形ABCD后，尋找滿足條件的E時，通常是以C為圓心，CA為半徑作圓，很明顯圓與平行線的交點不止一點E，還有一點G，也滿足CA?CG。在前面證明的基礎上，我們?nèi)菀鬃C明AG?AH。如圖6，作GJ?AC，顯然CG?C?AB2?DO2?D2?I，所以EJG?30?，易得?CGA??CHA?15?，?GCJ
所以AG?AH。
我把進一步的探究和學生講了之后，學生很佩服。因為在他看來，老師會解題，這是老師應該會的，不算什么；但老師能夠拿到題還能有新發(fā)現(xiàn)，說明老師很有水平。
圖6
一個人在長期使用動態(tài)幾何軟件之后，是否能擺脫軟件，達到手上無畫板，心中有畫板的境界呢？理智告訴我，這幾乎不可能，至少我個人是做不到這一點。但我堅信，長期使用動態(tài)幾何會使人加深對數(shù)學的理解；而使用Flash或PPT，則很難幫助你提高數(shù)學水平。我堅信，所以我堅持。
補充：已知三角形兩邊和第三邊的角平分線長作三角形。
尺規(guī)作法分析：如圖，假設△ABC為所求作，設CD是它的角平分線。引邊BC的平行線MD（點M在邊AC上）。因為?MCD??MCD??MDC，△CMD是等腰三角形。因為MCDBCBaab?，b所以MC????，且AM?MC。根據(jù)CD?cl和腰AMACACba?b
abMD?MC?作出等腰△CMD。然后在射線CM上截取線段CA?b。又在射線CM關于a?b
直線CD對稱的射線上截取線段CB?a。
如果感覺解答此問題有困難，可先解決“已知三角形兩邊和第三邊的中線長作三角形” 問題。而要以a，b，mc作三角形，可先以
點的性質(zhì)就很簡單了。 ab，，mc作三角形。接下來的作圖根據(jù)中22
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