《創(chuàng)新話舊》第4章

　　第四章 創(chuàng)新點(diǎn)（3）── 突破巴切勒1972單分散沉降理論的限制

　　4．1 從亞里士多德到斯托克斯

　　從本章起我們把話題從懸浮粒子的碰并過程，轉(zhuǎn)到懸浮粒子的沉降問題。物體的重力沉降，是自然界中非常重要的現(xiàn)象，人類對(duì)此已經(jīng)有了很長(zhǎng)的研究歷史。早在兩千三百年前，古希臘的哲人亞里士多德對(duì)此就做了研究，他的結(jié)論是：物體沉降的速度和它的重量成正比。這一認(rèn)識(shí)符合人們的直觀。因此，一直被奉為權(quán)威的結(jié)論，持續(xù)了一千多年。直到16和17世紀(jì)之交，意大利著名的科學(xué)家伽利略做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，即比薩斜塔實(shí)驗(yàn)。他把兩個(gè)輕重不同的物體帶到斜塔上，使它們同時(shí)，在相同高度上降落下來，從而發(fā)現(xiàn)兩者同時(shí)落地，推翻了延續(xù)了一千多年之久的亞里士多德理論，并且由此而發(fā)現(xiàn)重力加速度g。它在同一高度上，對(duì)任何物體都相同。接下來就是17和18世紀(jì)之交英國(guó)劍橋大學(xué)的牛頓，他那舉世聞名的蘋果從樹上掉下來打疼頭的故事，也可能是真的。直到現(xiàn)在，在劍橋大學(xué)他所工作過的著名的三一學(xué)院大門口，還有一棵據(jù)說是從牛頓家鄉(xiāng)移植過來的蘋果樹，以此來紀(jì)念他所由此而發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律。當(dāng)然我們?cè)诘谝徽轮幸呀?jīng)說過，牛頓發(fā)現(xiàn)物體之間的萬有引力定律，主要是從開普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律中提煉出來。但是也無法否認(rèn)那個(gè)從樹上掉下來的蘋果曾對(duì)牛頓產(chǎn)生了啟發(fā)作用，至少他找到了物體的重力沉降的真正動(dòng)因。再往下來對(duì)重力沉降做出重要貢獻(xiàn)的仍然是劍橋大學(xué)的著名學(xué)者，生活在19世紀(jì)的國(guó)際流體力學(xué)大師斯托克斯，他是粘性流體力學(xué)的兩位創(chuàng)始人之一。1822年法國(guó)學(xué)者納維 在一特殊條件下導(dǎo)出了粘性流體的粘性應(yīng)力表達(dá)式，1845年斯托克斯 在更普遍的條件下 導(dǎo)出了同樣的粘性應(yīng)力表達(dá)式，因此得到支配粘性流體運(yùn)動(dòng)的微分方程，為紀(jì)念這兩個(gè)創(chuàng)始人的偉大功績(jī)，該方程就以這兩位的姓氏命名，叫納維-斯托克斯方程。有時(shí)簡(jiǎn)稱為N-S方程。把N-S方程無量綱化以后，就可發(fā)現(xiàn)該方程解的性質(zhì)依賴于一個(gè)無量綱數(shù)—雷諾數(shù)。它是粘性流體的非線性的流體慣性力和線性的流體粘性力的比。斯托克斯 的第二個(gè)貢獻(xiàn)就是在低雷諾數(shù)條件下，做為一級(jí)近似，他建議把N-S方程中弱的非線性流體慣性力忽略，于是方程簡(jiǎn)化為線性的二階偏微分方程，為紀(jì)念他的第二個(gè)貢獻(xiàn)，人們把這個(gè)方程命名為斯托克斯方程。所得的解叫斯托克斯流。在斯托克斯 流中起支配作用的是流體的粘性力，所以斯托克斯流又叫粘性流。這是流體力學(xué)發(fā)展史上第一個(gè)成功的近似，叫斯托克斯 粘性流近似。斯托克斯 的第三個(gè)貢獻(xiàn)就是他對(duì)一個(gè)孤立的剛性球在靜止的無界的粘性流體中，以一定常的平移速度U向前運(yùn)動(dòng)做了細(xì)致研究。運(yùn)動(dòng)屬低雷諾數(shù)性質(zhì)，可以使用斯托克斯方程求解，由此而得到在四周流體中所產(chǎn)生的擾動(dòng)流場(chǎng)結(jié)構(gòu)，所得到的是一個(gè)很漂亮的解析解。從這個(gè)解不難求出擾動(dòng)流場(chǎng)對(duì)這剛性球所產(chǎn)生的阻力。這個(gè)阻力與球的半徑a成正比，與球運(yùn)動(dòng)速度U成正比，與流體的粘性系數(shù)m成正比，比例系數(shù)是6p，這就是著名的斯托克斯 阻力定律。有了這第三個(gè)貢獻(xiàn),他就很容易導(dǎo)出他的最后一個(gè)重大貢獻(xiàn)。這是和本章直接有關(guān)的重力沉降問題，使剛性球的重力和阻力平衡，他就得到球的重力沉降速度，它和球的半徑a 平方成正比，和球的密度與介質(zhì)密度差成正比，與重力加速度g成正比，和介質(zhì)粘性系數(shù)m成反比，比例系數(shù)是2/9 ，這就是著名的斯托克斯沉降公式，這個(gè)公式為兩千多年前的亞里士多德翻了案。原來中世紀(jì)的伽利略的比薩斜塔實(shí)驗(yàn)，測(cè)量的是自由落體沉降速度，也就是說，只有在介質(zhì)對(duì)落體的阻力可以忽略不計(jì)時(shí)，伽利略才可以推翻亞里士多德的結(jié)論，否則在介質(zhì)阻力不可忽略條件下，亞里士多德的結(jié)論就仍然正確 。落體的平衡速度就仍和落體所受的重力成正比，之所以在斯托克斯沉降公式中不是正比與球的半徑a的3次方，只是a的2次方，是由于介質(zhì)阻力正比于a的1次方，兩者相抵使原來的a的3次方降為a的2次方。結(jié)論仍然是球越重，沉降速度越大。當(dāng)然，事情不是簡(jiǎn)單地回歸到兩千多年前的亞里士多德的定性結(jié)論，由于 斯托克斯對(duì)粘性流體力學(xué)做出的努力，現(xiàn)在對(duì)球的重力沉降的認(rèn)識(shí)更精確更定量了。進(jìn)入20世紀(jì)后，人們對(duì)他的重力沉降公式進(jìn)行了各種實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無論是液態(tài)介質(zhì)，還是氣態(tài)介質(zhì)，斯托克斯 沉降公式都正確，富克斯曾說過，它是人們所知道的最精確的物理定律之一。

　　在斯托克斯之后，沿著孤立球的沉降問題，繼續(xù)有不少人做了研究。

1911年哈達(dá)馬特（ Hadamard） 把剛性球的假定放松，研究了液滴運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力問題。此外在20世紀(jì)上半葉還有一些人研究了非球形物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力，從最簡(jiǎn)單的一種橢球體看，情形就相當(dāng)復(fù)雜。不僅和運(yùn)動(dòng)速度，還和運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。到了1967年巴切勒還從更一般的角度探討了任意形狀物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力問題。第三，斯托克斯公式是在低雷諾數(shù)條件下，完全忽略了非線性流體慣性力的影響后得到的，1910年奧森（Oseen）考慮了低雷諾數(shù)條件下，弱的非線性流體慣性力的影響，指出這是一個(gè)奇異擾動(dòng)問題，并由此而得到了二級(jí)近似，更高級(jí)的近似則是在1957年分別由兩組人員得到。即：卡普隆（Kaplun）和拉杰斯托姆（Lagerstrom） , 以及普勞德曼（Proudman）和皮爾森（ Pearson）。

至于在高雷諾數(shù)條件下運(yùn)動(dòng)物體所受介質(zhì)阻力問題，則更復(fù)雜。1904年普朗托的邊界層理論已指明這又是一個(gè)奇異擾動(dòng)問題，在外域可忽略掉粘性力，問題轉(zhuǎn)化為無粘性的理想流體運(yùn)動(dòng)，而在內(nèi)域即在運(yùn)動(dòng)物體的表面有一邊界層，在這層中粘性力不可忽略，而不管雷諾數(shù)是如何之大。但是如何使邊界層理論應(yīng)用到具體物體則遇到了很大的困難。1975年范戴克 指出問題出在外域，在完全忽略了粘性力， 當(dāng)物體具有有界尺寸時(shí)，物體后面的流體會(huì)出現(xiàn)分離脫體現(xiàn)象，流場(chǎng)的解就不唯一。范戴克曾以園球繞流為例舉出外域解至少有三種可能性，一種是連續(xù)的位勢(shì)饒流，一種是球背后出現(xiàn)死水區(qū)的分離流，第三種是球背后出現(xiàn)尖頂渦尾流區(qū)。這種解的不確定性，使求解的工作無法進(jìn)行下去，因此在高雷諾數(shù)條件下，嚴(yán)格的理論求解就只能限在不會(huì)產(chǎn)生分離流或尾流的半無界平板繞流問題，是令人遺憾的事。

　　4．2 巴切勒1972年的卓越貢獻(xiàn)

　　在斯托克斯之后，另一個(gè)發(fā)展方向，就是放松他的孤立球假定，研究在多球相互作用下的重力沉降問題。球越小，它的雷諾數(shù)越小。在斯托克斯范圍它和球半徑的3次方成正比，所以斯托克斯沉降公式特別適用于我們所研究的氣溶膠或水溶膠問題，當(dāng)球小到氣溶膠粒子的尺度例如半徑為10微米時(shí)，它的雷諾數(shù)已降到10的－2次方。半徑降為1微米時(shí)，雷諾數(shù)降為10的 －5次方，半徑降為0.1微米時(shí)其雷諾數(shù)就僅為10的－8次方了。所以斯托克斯沉降公式完全可以適用到氣溶膠或 水溶膠體系中來。問題在于這是個(gè)多粒子相互作用下的沉降問題，對(duì)于這種體系，只有當(dāng)體系極端稀釋時(shí)，斯托克斯孤粒子沉降公式才能適用，否則，就必須研究多粒子相互作用下對(duì)沉降的影響。這問題的研究也是在20世紀(jì)初由 斯莫魯霍夫斯基1912年工作所開始。多粒子 相互作用下的沉降又分兩種，一種是在無界空間中粒子云的沉降，一種是在有界空間中的（例如在容器中，在沉淀池中，或在水庫(kù)中等）的沉降，前者平均沉降速度較斯托克斯孤粒子沉降為大，叫“增速沉降”，后者平均沉降速度較斯托克斯沉降為小，叫“阻滯沉降”。由于“阻滯沉降”應(yīng)用價(jià)值較大，近一個(gè)世紀(jì)來，研究很多，形成了三種不同的方法：一是晶格法，二是殼層法,三是統(tǒng)計(jì)理論法。第一種方法以粒子間平均距離為晶格格點(diǎn)之間的距離,假定膠體系統(tǒng)的粒子都規(guī)則地排列在這些晶格的格點(diǎn)上，第二種方法以粒子間平均距離為半徑，以參考粒子中心為球心，假定其他粒子對(duì)參考粒子沉降的影響都集中在這個(gè)大球面上，并使這一球面上流體速度降為0，以此來計(jì)算對(duì)參考粒子沉降速度的影響。以上兩種方法都涉及到膠體系統(tǒng)粒子間的平均距離，從量綱分析考慮，四周粒子對(duì)參考粒子沉降速度所造成的阻滯量必然和粒子間平均距離成反比，而平均距離又和粒子的體積濃度j的1/3次方成反比。故此，從以上兩種方法得到的阻滯量都和粒子體積濃度j的1/3次方成正比，比例系數(shù)各有不同，而晶格法的比例系數(shù)又因晶格列陣的幾何形狀假定不同而不同。第三種方法則是統(tǒng)計(jì)理論法，這方法不對(duì)粒子分布以及粒子間相互作用做任何硬性的人為假定，它只認(rèn)定N個(gè)粒子在空間中的構(gòu)型，因粒子的隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)而是一個(gè)3N維隨機(jī)場(chǎng)。問題是要求出這種多粒子的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)。在稀釋體系中就是要求出粒子對(duì)的對(duì)分布函數(shù)。所得結(jié)果與前兩種方法有很大差異。統(tǒng)計(jì)理論法所得的阻滯沉降量與j的 1次方成正比，而 與前兩種方法有規(guī)律上的不同。由于隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng)是懸浮粒子運(yùn)動(dòng)的基本特征。因此，這一方法較之前兩種人為假定的方法更易于讓人們接受。然而這一方法，不可避免地遇到積分發(fā)散和對(duì)分布方程求解兩大難題而進(jìn)展十分緩慢。只是到了1942年伯杰斯的工作開始才對(duì)單分散沉降的 統(tǒng)計(jì)理論有了研究，對(duì)于所遇到的積分發(fā)散問題，他嘗試采取了幾種不同的方法使積分收斂，所得結(jié)果也不相同，他也不知道他是否得到了正確的答案。1964年皮恩（Pyun）和菲克斯曼（Fixman） 沿著伯杰斯的方向進(jìn)一步做了努力，結(jié)果他們成功地使其中的一項(xiàng)積分收斂，但在使另一項(xiàng)發(fā)散積分收斂時(shí)，遭遇失敗。又過了八年到了1972年 巴切勒終于取得突破性進(jìn)展，他發(fā)明一種類似于理論物理中的重整化方法使兩項(xiàng)發(fā)散積分，都達(dá)到了收斂的目的，所得的沉降速度的阻滯量自然仍是與j的1次方成正比。比例系數(shù)（現(xiàn)在叫沉降系數(shù)）是－6.55，這是一次重大的突破。自從19世紀(jì)斯托克斯在1851年得到孤粒子沉降公式后，人類經(jīng)過了100多年的努力，只是到20世紀(jì)下半葉才由巴切勒在1972年得到多粒子相互作用下的單分散沉降公式。如果從斯莫魯霍夫斯基1912年研究算起，則經(jīng)歷了60年，如果從1942年伯杰斯努力從統(tǒng)計(jì)理論出發(fā)探討多粒子單分散沉降算起，也走了30年。這是多么慢長(zhǎng)的一條道路啊。人們常說現(xiàn)在是知識(shí)爆炸的時(shí)代，其實(shí)這多半是指技術(shù)知識(shí)的進(jìn)步，而非基礎(chǔ)理論的發(fā)展，做基礎(chǔ)理論工作，必須要有耐心，要經(jīng)受得住寂寞，更要有甘為人梯精神。當(dāng)然，人類在這個(gè)領(lǐng)域所付出的代價(jià)完全值得。基礎(chǔ)理論一旦有了新的突破，常常就會(huì)使技術(shù)知識(shí)領(lǐng)域產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)的飛躍，面貌會(huì)煥然一新。第一章中所談到的維納的控制論就是一例。在粒子沉降領(lǐng)域，19世紀(jì)的斯托克斯和20世紀(jì)的巴切勒都是流體力學(xué)中劍橋?qū)W派的代表人物。這并非偶然，由于劍橋?qū)W派在國(guó)際流體力學(xué)中的領(lǐng)先地位，由于為要精確地預(yù)測(cè)粒子重力沉降速度，必須先要精確地預(yù)測(cè)出粒子在沉降時(shí)所受的流體阻力。在斯托克斯孤粒子沉降時(shí)代要求能精確地預(yù)測(cè)出流體對(duì)孤粒子沉降的阻力。在巴切勒多粒子沉降時(shí)代，要求能精確地預(yù)測(cè)出在多粒子流體動(dòng)力相互作用下，流體對(duì)參考粒子沉降的阻力，這就要求有非比一般的流體力學(xué)的高超水平，對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的物理本質(zhì)有非比一般的深刻認(rèn)識(shí)。

　　巴切勒1972年單分散沉降的統(tǒng)計(jì)理論，不僅給出了精確的沉降系數(shù)數(shù)值，而且找出了阻滯沉降的來源。來源有四：一是四周粒子自身沉降時(shí)，所引起粒子周圍流體的反向補(bǔ)償流，這項(xiàng)貢獻(xiàn)為－1。二是四周粒子沉降時(shí)，會(huì)使與這些粒子相鄰的流體一起被拖帶下沉，從而在更大范圍內(nèi)引起流體的反向補(bǔ)償流，這項(xiàng)貢獻(xiàn)最大，為－4.5。三是四周粒子對(duì)來自介質(zhì)阻力的反作用力，傳達(dá)到參考粒子身上時(shí)會(huì)有一項(xiàng)正的作用力，是四項(xiàng)貢獻(xiàn)中唯一的正效應(yīng)。可惜很小，貢獻(xiàn)只有＋0.5。最后，第四項(xiàng)是四周粒子對(duì)來自參考粒子作用力的反作用，仍為負(fù)效應(yīng)，貢獻(xiàn)是－1.５５,總起來即為－6.55。

可見阻滯效應(yīng)主要來自流體的反向補(bǔ)償流，可稱之為粒子的總體的流體動(dòng)力相互作用。在稀釋的單分散硬球體系中，它可使參考粒子的斯托克斯沉降速度減少6.55j倍。這是人類所得到的多粒子體系沉降的 第一個(gè)公式。

　　巴切勒單分散硬球沉降公式，并沒有為 當(dāng)時(shí)存在的單分散沉降實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。很明顯，由于當(dāng)時(shí)存在的單分散沉降實(shí)驗(yàn)都不是用符合硬球條件的粒子做出，它們都是具有相互作用勢(shì)的具勢(shì)粒子，所以所測(cè)得的沉降系數(shù)都比巴切勒的－6.55大，一般在－5――4之間。在這個(gè)意義上，巴切勒單分散硬球沉降理論也是走在了實(shí)驗(yàn)的前面。在1972年以前世界上還沒有一個(gè)單分散硬球沉降實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，正是由于在1972年巴切勒發(fā)明了單分散硬球沉降理論，(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　才引起了人們對(duì)硬球?qū)嶒?yàn)的濃厚興趣，在實(shí)驗(yàn)科學(xué)家的努力下，1974年紐曼（Newman）完成了第一批單分散硬球沉降實(shí)驗(yàn)，所測(cè)得沉降系數(shù)為－6.7±0.8。1982年考普斯-沃克赫文（Kops-Werkhoven）小組又得到了第二批單分散硬球沉降數(shù)據(jù)，為－6.6±0.6。到了1992年埃爾納法和塞里姆又得到新的數(shù)據(jù),為-6.51±0.4。這些數(shù)據(jù)均和巴切勒1972年的 理論預(yù)測(cè)一致，從此確立了這理論在沉降領(lǐng)域中的地位，三十多年來，直到現(xiàn)在還經(jīng)常被人們所引用，成為這領(lǐng)域中國(guó)際公認(rèn)的經(jīng)典理論。

　　4．３ 多分散沉降理論的建立

　　4．３．１ 我的貢獻(xiàn)

　　如上所述, 巴切勒1972年單分散沉降理論是沉降研究中的一次重大進(jìn)展,然而對(duì)沉降的統(tǒng)計(jì)理論而言,單分散沉降的成功還只完成了任務(wù)的一半,它意味著統(tǒng)計(jì)理論中的兩大難題, 他只解決了一個(gè)積分發(fā)散；
而第二個(gè)難題，即求解粒子對(duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程難題仍有待解決,只有解決這一難題沉降的統(tǒng)計(jì)理論才算全部完成，才能突破單分散沉降理論的局限,把理論推進(jìn)到多分散沉降理論階段。多分散體系普遍存在于自然界和工程領(lǐng)域,真正的單分散系統(tǒng)只有在實(shí)驗(yàn)室中采取特殊設(shè)備才能制造出來。因此在應(yīng)用上單分散理論也有很大的局限性,應(yīng)予以突破建立更普遍的多分散理論。在多分散體系中，由于粒子大小，成分都不同，在重力的作用下，它們各自的沉降速度也就不同，因此它們之間也就存在相對(duì)的重力沉降速度。對(duì)分布方程中重力輸送項(xiàng)也就不為0，對(duì)于這種多分散體系，即使仍假定粒子為硬球，不存在相互作用勢(shì)，求解對(duì)分布方程的困難也不再能回避。只有解決了這一難題，才能建立起多分散沉降統(tǒng)計(jì)理論，而這一難題的解決是在我79年到了劍橋后，在我的協(xié)助下巴切勒才完成了這第二次突破。

　　在突破單分散沉降的局限，建立多分散沉降理論的過程中，無疑巴切勒是主角，我只起了一個(gè)配角作用，我的作用不可能更多。因?yàn)樵谖覅⒓拥剿�這個(gè)大工程中來時(shí)候，我對(duì)沉降的了解還只停留在1851年的斯托克斯孤粒子沉降理論上。盡管如此，這貢獻(xiàn)卻不是無足輕重的，具體地講，我的貢獻(xiàn)有兩點(diǎn)，第一是得到了高皮克列特?cái)?shù)下對(duì)分布方程在外域的一級(jí)近似解，第二是承擔(dān)了這個(gè)大工程中全部數(shù)值計(jì)算工作。以上兩點(diǎn)貢獻(xiàn)，相對(duì)于巴切勒的自然很小，但很重要。尤其是第一點(diǎn)，應(yīng)該說它起到了關(guān)鍵的作用。正如我前面曾指出的，從單分散沉降到多分散沉降，必須克服求解對(duì)分布方程的難題才行。1976年巴切勒雖然對(duì)多分散沉降進(jìn)行了初步探討，為大家描述了多分散沉降理論的輪廓，但那只能算是一個(gè)理論框架，還不是理論的真實(shí)內(nèi)容。因?yàn)槟菚r(shí)他還未能克服這個(gè)求解對(duì)分布方程的 難題。1979年底我到了劍橋以后，和巴切勒一起研究我的工作時(shí)，也沒有提到沉降工作，只是到了1980年他第一次訪華時(shí)，我在研究懸浮粒子對(duì)流碰并的統(tǒng)計(jì)理論過程中，得到了不穩(wěn)定系統(tǒng)高皮克列特?cái)?shù)下對(duì)分布方程外域的一級(jí)近似解，待他回劍橋向他匯報(bào)后，才使他想起他1976年還未完成的多分散沉降工作，原來沉降和碰并雖是兩個(gè)不同的課題，所面對(duì)的是兩個(gè)不同的懸浮體系，但這個(gè)不同，在高皮克列特?cái)?shù)條件下，僅僅表現(xiàn)在內(nèi)域邊界層上。而 對(duì)于外域解卻完全相同，再加上他當(dāng)時(shí)做出的第二次近似，忽略掉布朗邊界層的貢獻(xiàn)后，我那個(gè)解就成全部區(qū)域中的解，放到沉降積分中去，就可得到高皮克列特?cái)?shù)下多分散沉降的統(tǒng)計(jì)理論了�？梢娢夷莻�(gè)解在建立多分散沉降理論中所起的作用，確實(shí)很關(guān)鍵。然而對(duì)我來說，那到是意外收獲，是“無心插柳柳成行”。

　　在有了如上沉降的理論以后，巴切勒自己又很快得到低皮克列特?cái)?shù)條件下的解，以及粒子大小比l，和粒子和介質(zhì)密度差比g兩個(gè)參數(shù)，趨于兩個(gè)極端情況（0和無窮大）下的解。于是多分散沉降統(tǒng)計(jì)理論的一個(gè)相當(dāng)完整的體系就此完成了。下一步該進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。這時(shí)巴切勒找到我，征求我的意見，問我是否愿意把我手頭上的 碰并工作暫時(shí)停下來，幫他把多分散沉降理論的數(shù)值計(jì)算工作完成，我當(dāng)即表示愿意，這就是上面談的第二點(diǎn)貢獻(xiàn)。第一點(diǎn)貢獻(xiàn)是“無心插柳”，第二點(diǎn)卻是“自覺自愿”。是一次自愿地選擇。這兩點(diǎn)對(duì)沉降的貢獻(xiàn)，使我自己的碰并工作暫時(shí)停了兩年，但是完全值得，以后的發(fā)展，越來越使我認(rèn)識(shí)到，當(dāng)時(shí)自愿暫停兩年的碰并幫助他完成多分散沉降理論，意義是多么重大，應(yīng)該承認(rèn)這是我那“閃光的8個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)”中，影響最深遠(yuǎn)，意義最重大，最光輝的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)。當(dāng)然，這“光輝”主要是巴切勒的，我只是“沾了點(diǎn)光”。然而巴切勒本人對(duì)我這點(diǎn)“光”，也作了充分的肯定，以致在1981年9月他兩次讓我代表他向華沙的流體力學(xué)國(guó)際會(huì)議，以及維也納的歐洲力學(xué)學(xué)會(huì)第144次會(huì)議做多分散沉降的報(bào)告。1982年2月他又讓我代表他向瑞士蘇黎世理工大學(xué)流體力學(xué)研究所做更詳盡的 多分散沉降報(bào)告。報(bào)告后不久，我就結(jié)束了在劍橋的高級(jí)訪問學(xué)者的生活回國(guó)。分手時(shí)，他一再向我表示感謝，感謝我對(duì)他的多分散沉降理論的貢獻(xiàn)，他說沒有我的幫助這一工作不可能完成。

　　4．3．2 杰弗瑞（Jeffrey）和大西善元的重要貢獻(xiàn)

　　談到多分散沉降理論創(chuàng)新點(diǎn)的誕生過程，還必須講一下杰弗瑞 和大西善元的重要貢獻(xiàn)。前者是當(dāng)時(shí)在劍橋工作的一位科學(xué)家，是巴切勒懸浮體力學(xué)小組的正式成員，后者來自日本的一位高級(jí)訪問學(xué)者。在杰弗瑞那里工作。他們也是在巴切勒1980年訪華回來后，被他請(qǐng)來參加這一大工程。使我感到奇怪的是，杰弗瑞是懸浮體小組的正式成員，巴切勒是這個(gè)小組的負(fù)責(zé)人，又是這個(gè)系的系主任，《JFM》的主編，當(dāng)代國(guó)際公認(rèn)的流體力學(xué)大權(quán)威。按照我們國(guó)內(nèi)通常的做法，把任務(wù)布置給杰弗瑞就是了，沒有什么商量的余地。但巴切勒卻不。他是以一個(gè)朋友的身份，用商量的口吻，向杰弗瑞提出了兩項(xiàng)建議，一是參加到沉降課題組來，為之提供有關(guān)在雙球流體動(dòng)力相互作用下遷移率數(shù)據(jù)，另一個(gè)是參加到云物理課題組來，還講到這是一個(gè)很有吸引力的課題，因?yàn)樵频问欠浅Ｃ利惖膽腋×Ｗ印Ｗ詈笳f參加不參加，如何參加，由杰弗瑞自己考慮。杰弗瑞果然有自己的考慮，他接受了第一個(gè)建議，而沒有接受第二個(gè)。第一個(gè)建議他也不是被動(dòng)式的參加，而是把這一工作發(fā)展成他自己另外一個(gè)大工程——用他和大西善元發(fā)明的雙多極展開法，全面系統(tǒng)地完成雙球低雷諾數(shù)流體力學(xué)的計(jì)算。巴切勒和我的大工程只是從他們的大工程中提取了一小部分?jǐn)?shù)據(jù)，多分散懸浮粒子沉降統(tǒng)計(jì)理論就成為這兩個(gè)大工程交叉的結(jié)果。他們二人為我們提供的數(shù)據(jù)非常重要，非常關(guān)鍵。前曾指出，要想知道在稀釋體系中，在雙球流體動(dòng)力相互作用下的參考粒子的平均沉降速，首要的一環(huán)就應(yīng)知道在雙球流體動(dòng)力相互作用下，流體對(duì)參考粒子的阻力。正像當(dāng)年斯托克斯在完成了低雷諾數(shù)孤粒子運(yùn)動(dòng)所受流體的阻力計(jì)算，才能完成孤粒子沉降速度的計(jì)算一樣。在斯托克斯那里兩件事事由他一個(gè)人完成，而巴切勒這里兩件事是分兩組人馬，由四個(gè)人完成。雖然我們的工作使用的僅是杰弗瑞和大西善元的工程中一小部分?jǐn)?shù)據(jù)，但他們?nèi)詾榇烁冻隽?大量勞動(dòng)。原因之一在于巴切勒的計(jì)劃非常龐大，1972年在完成他單分散沉降理論時(shí)，他只進(jìn)行了一個(gè)沉降系數(shù)計(jì)算，得到了-6.55的沉降系數(shù)值，而且在那次計(jì)算中由于單分散硬球模型的化簡(jiǎn)，沒有必要對(duì)對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。現(xiàn)在1982年這次多分散沉降系數(shù)的計(jì)算，卻復(fù)雜得多，即使對(duì)沒有相互作用勢(shì)的硬球，它還和皮克列特?cái)?shù)的大小有關(guān)。即使僅計(jì)算高皮克列特?cái)?shù)和低皮克列特?cái)?shù)兩種極限情況，它們?nèi)匀皇橇Ｗ哟笮”萳與粒子密度和介質(zhì)密度差比g兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)，是l和g兩個(gè)連續(xù)變化參數(shù)所確定的兩個(gè)沉降系數(shù)曲面。巴切勒只從中選擇了一些代表點(diǎn)，即使這樣也有90個(gè)沉降系數(shù)需要計(jì)算，再加上在計(jì)算每一個(gè)沉降系數(shù)值時(shí)，還要進(jìn)行相應(yīng)皮克列特?cái)?shù)下，和相應(yīng)的l和g參數(shù)下的對(duì)分布函數(shù)計(jì)算。這里的每一個(gè)對(duì)分布函數(shù)，又要在不同距離上計(jì)算它的數(shù)值，至少十幾個(gè)點(diǎn)，算起來就有1000多個(gè)數(shù)據(jù)需要計(jì)算，工作量已遠(yuǎn)非1972年單分散沉降計(jì)算可以比擬。更為重要的一個(gè)原因是，為使計(jì)算結(jié)果正確可靠。巴切勒研究并確定出好多組漸近線，它們是當(dāng)l和g分別趨于它們各自的極限值時(shí)（l的極限值是0和無窮大，g的極限值是正負(fù)無窮大）沉降系數(shù)所應(yīng)逼近的漸近線。如果沒有逼近這個(gè)漸近線那就是計(jì)算中出現(xiàn)了問題。不是我的對(duì)分布函數(shù)和沉降系數(shù)計(jì)算出了問題，就是杰弗瑞 和大西善元的遷移率計(jì)算出了問題。必須把錯(cuò)誤找出，加以改正，這就是我前面第一章中講到的計(jì)算曾多次推倒重來的原因。是巴切勒第四境“西風(fēng)再凋碧樹”精神的一個(gè)生動(dòng)體現(xiàn)。當(dāng)然也有找到了問題的原因，可就現(xiàn)在工作水平來看已無法解決的情況。例如在g等于1時(shí)，對(duì)于高皮克列特?cái)?shù)下l趨于0和無窮大的兩個(gè)漸近線，當(dāng)我們減少l，計(jì)算到l等于1/8時(shí)，沉降系數(shù)已逼近l＝0時(shí)的漸近線，這個(gè)計(jì)算可以接受了，可是當(dāng)l®µ時(shí)的漸近線卻都出了問題。我們計(jì)算使l大到8時(shí)，其沉降系數(shù)還遠(yuǎn)高于漸近線，沒有降下來的意思，檢查結(jié)果是杰弗瑞和大西善元的遷移率計(jì)算出了問題。從趨勢(shì)看l還要進(jìn)一步加大，估計(jì)要到64，128時(shí)才能收斂到極限值，可這已到了杰弗瑞和大西善元雙多極展開法的極限，不要說64，128，即使把l從8加大到16，雙多極展開法也無法計(jì)算下去。因此就只好住手，把問題留給后來人去解決了。這樣計(jì)算工作經(jīng)歷了兩年才結(jié)束，工作從1980年開始到1982年才發(fā)表。而杰弗瑞和大西善元他們自己那個(gè)雙球低雷諾數(shù)流體力學(xué)的大工程卻還沒有結(jié)束，一直到1984年他們的工作才發(fā)表，前后共花了他們四年時(shí)間。那一年我不但早已離開劍橋回國(guó)，而且也已離開了中國(guó)科學(xué)院安徽光機(jī)所來到了南開大學(xué)。為了使我在南開的學(xué)生能繼續(xù)算下去，我給杰弗瑞寫信，向他索取雙球低雷諾數(shù)遷移率的程序，他很慷慨，馬上就把他們?nèi)�部程序都拷到軟盤上給我寄來，并在來信中告訴我，這些程序較之我們1982年沉降工作中所用的又有了好多改進(jìn)。精度提高了許多�？磥斫芨ト鹨彩怯猛瑯拥木�益求精的精神對(duì)待自己的工作。劍橋人的“西風(fēng)再凋碧樹”精神真是令人敬佩��！

　　杰弗瑞還有另外一個(gè)貢獻(xiàn)，是直接對(duì)我個(gè)人的。當(dāng)1980年我答應(yīng)了巴切勒對(duì)我的建議，幫他完成多分散沉降的數(shù)值計(jì)算工作時(shí)，我告訴他數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)這方面，我以前沒學(xué)過，需要一段時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí)。他告訴我，他也沒學(xué)過，也不懂怎樣編程序怎樣進(jìn)行計(jì)算。他建議我去找杰弗瑞，請(qǐng)他幫忙。這又使我很吃驚，他是應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論物理系的創(chuàng)始人兼系主任，怎么會(huì)不懂計(jì)算方法，程序設(shè)計(jì)。又怎么敢居然在一個(gè)外國(guó)人面前承認(rèn)這一點(diǎn)，他完全可以不提此事，而直接以他很忙為理由去建議我找杰弗瑞�，F(xiàn)在看來，老老實(shí)實(shí)，不怕丟面子，不懂就是不懂，決不裝懂，這正是一個(gè)真正的科學(xué)家本色。杰弗瑞很熱情地接受了巴切勒的這個(gè)建議，他不僅是一位低雷諾數(shù)流體力學(xué)專家，而且是一位相當(dāng)老練的計(jì)算數(shù)學(xué)專家。他幫我找來一本講Fortran計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的書。當(dāng)我學(xué)了這本書前幾章并準(zhǔn)備開始做書上的一些練習(xí)題時(shí)，他提出了新建議。要我避開書上的練習(xí)題，直接從我自己的工作開始。巴切勒的龐大計(jì)算計(jì)劃，執(zhí)行起來當(dāng)然要設(shè)計(jì)出一個(gè)龐大復(fù)雜的程序。杰弗瑞告訴我，不要一上來就企圖編制這個(gè)龐大的程序，而要把它分解開來，逐步分解成小的單元。先編制其中的一個(gè)比較小的子程序開始，以這簡(jiǎn)單的子程序作為你的第一道練習(xí)題，然后再逐步逐步加大，增加更多的子程序。最后就可以組裝成符合工作需要的大程序了。這種單刀直入，越過做書上練習(xí)題階段，直接從工作開始的方法，很符合我們?cè)趪?guó)內(nèi)常講的“邊干邊學(xué)，在干中學(xué)”，很有道理，我欣然接受，比較快地進(jìn)入工作階段。編制計(jì)算程序，對(duì)于我這樣一個(gè)初學(xué)者而言，難免會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，開始時(shí)尋找錯(cuò)誤還不算難，但隨著程序越編越大，越來越復(fù)雜。出現(xiàn)了錯(cuò)誤就越來越難查找了。計(jì)算機(jī)很聽人話，程序中只要隨便在那里出了一個(gè)技術(shù)性錯(cuò)誤，它就會(huì)按照這個(gè)錯(cuò)誤的指令執(zhí)行下去，直到滿盤皆錯(cuò)�？捎趾茈y找到錯(cuò)在何處，真讓人著急。這時(shí)杰弗瑞又來告訴我，要冷靜，不要泛泛的查，對(duì)于這種復(fù)雜而又龐大的程序，出錯(cuò)時(shí)，應(yīng)把最容易出錯(cuò)的地方先抽出來打一下，這樣逐段逐段地打出來，就容易把錯(cuò)誤之點(diǎn)找出并予以糾正。這方法果然很好，工作于是逐步地引向正軌，引向深入。80年代初期的劍橋還沒有進(jìn)入微機(jī)時(shí)代。整個(gè)劍橋的計(jì)算工作，由設(shè)在計(jì)算機(jī)系的計(jì)算中心控制。該中心擁有巨型機(jī)，那是一個(gè)真正的計(jì)算中心。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　在各個(gè)系都設(shè)有相應(yīng)的終端。在我們的應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論物理系里就設(shè)有好多個(gè)終端，安放在系里的一個(gè)大機(jī)房里。機(jī)房里又有三個(gè)房間，供全系師生使用。為了避開白天的擁擠，我們經(jīng)常在夜間工作，一直到深夜。有一次為了查出一個(gè)暗藏在很深地方的一個(gè)錯(cuò)誤，竟然工作到凌晨3點(diǎn)。當(dāng)最后終于把這個(gè)錯(cuò)誤揪出來并予以改正后，那時(shí)的心情愉快非常。就這樣，在這個(gè)機(jī)房里工作了將近兩年。終于把計(jì)算任務(wù)完成。努力結(jié)出了碩果。我最后算出的數(shù)據(jù)終于通過了巴切勒各種漸近線的檢驗(yàn)。80年代后期到90年代，它們又經(jīng)住了美國(guó)實(shí)驗(yàn)科學(xué)家的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。當(dāng)獲知自己在劍橋所付出的兩年努力算出的數(shù)據(jù)，經(jīng)受住了長(zhǎng)時(shí)間各種各樣的檢驗(yàn)，被證明是正確可靠，現(xiàn)在已成為一個(gè)經(jīng)典工作為大家經(jīng)常引用后，我感到無比欣慰。

　　4．3．3 揭開多分散沉降神秘面紗

　　經(jīng)歷了兩年時(shí)間，在巴切勒領(lǐng)導(dǎo)下，在劍橋由4個(gè)人組成的兩個(gè)小組通力合作終于揭開了多分散沉降神秘面紗，向世人展示出她復(fù)雜內(nèi)容的全貌。如果從1976年巴切勒第一次正式探討多分散沉降理論的工作算起，則經(jīng)歷了更長(zhǎng)，共6年時(shí)間。本節(jié)將對(duì)這個(gè)復(fù)雜理論的全貌予以介紹。在介紹之前，有必要先把懸浮粒子大小比l與粒子密度和介質(zhì)密度差比g的更為精確的定義和特征給以解釋。

　　4．3．3．1 兩個(gè)十分重要的參數(shù)l和g

　　前面曾提到l是四周粒子和參考粒子的大小比。因?yàn)槭窍♂岓w系，所以這里的四周粒子僅僅指一個(gè)離參考粒子最近的粒子。即j粒子。它的半徑是aj 密度是rj 。同樣，參考粒子即i粒子。它的半徑是ai， 密度是ri, 此時(shí)粒子大小比l就是aj比上ai。

很明顯參數(shù)l始終為正，最小值是0。此時(shí)，aj趨于0。（注意：不包括ai趨于無窮大，雖然此時(shí)l也趨于0，但那將超出低雷諾數(shù)流動(dòng)的范圍，所以不能允許ai趨于無窮大）。

參數(shù)l最大值為無窮大，此時(shí)i粒子半徑是ai 趨于0（注意：同上理由，此處不包括aj趨于無窮大，雖然此時(shí)l也會(huì)趨于無窮大，但那同樣會(huì)超出低雷諾數(shù)流的范圍）。

　　前面還曾講到g是四周粒子密度和介質(zhì)密度r的差與參考粒子密度和介質(zhì)密度r之差的比。在稀釋體系條件下，g 就等于(rj－r)比上(rI－r)。與l不同，此處g的值可正可負(fù)。當(dāng)（i, j）兩粒子間僅有一個(gè)是輕粒子，（或者rjr,或者ri>r）這時(shí)g就小于0,為負(fù)。在重力的作用下,輕粒子將會(huì)上升,而重粒子則相反作下沉運(yùn)動(dòng)，所以這是描述浮力狀況的參數(shù)。另一方面，當(dāng)（i ,j）兩粒子均為輕粒子，它們的密度均比介質(zhì)的密度小，或者當(dāng)(i ,j)粒子均為重粒子，它們的密度均比介質(zhì)密度大，此時(shí)，g為正，在重力的作用下，它們都作上升運(yùn)動(dòng)，或者相反都作下沉運(yùn)動(dòng)。最后，當(dāng)j粒子是中性粒子，它的密度與介質(zhì)密度r相同時(shí)，此時(shí)g為0，在重力的作用下，j粒子和介質(zhì)之間不產(chǎn)生任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)，既不下沉也不上升。（注意：當(dāng)i粒子是超重型粒子，(ri－r)趨于無窮大時(shí)，g也為0。但是，由于同樣理由，我們也要排除i粒子是超重型的情況）。

　　講清楚l，g兩參數(shù)的嚴(yán)格定義和它們的量值特點(diǎn)后，現(xiàn)在可進(jìn)一步看清1972年巴切勒單分散沉降理論和1982年通過他領(lǐng)導(dǎo)下的4人集體所完成的多分散沉降理論兩者之間的巨大差異和兩者的聯(lián)系。對(duì)于1972年單分散體系而言，它僅弄清楚了在（l ，g）平面上一個(gè)點(diǎn)（l＝1，g＝1）的沉降系數(shù)Sij。而現(xiàn)在，在多分散條件下，它是弄清楚了（l ，g）平面中的半無界平面（（0£l£¥ ，－¥£g£＋¥），它由無窮多個(gè)（l ，g）點(diǎn)組成）上沉降系數(shù)Sij的若干個(gè)曲面。巴切勒在這個(gè)半無界面上選了90 個(gè)點(diǎn)，來分別描述高皮克列特?cái)?shù)和低皮克列特?cái)?shù)條件下的沉降系數(shù)Sij。顯然這時(shí)的Sij就是兩個(gè)無窮多的Sij所構(gòu)成的兩個(gè)曲面。（這兩個(gè)Sij曲面現(xiàn)在由兩組90個(gè)代表點(diǎn)所確定），顯然，多分散沉降比單分散沉降復(fù)雜得多。以下我們將分別介紹從這兩個(gè)曲面看到的多分散沉降的一些特征。

　　4．3．3．2 高皮克列特?cái)?shù)下的多分散沉降系數(shù)Sij特征

　　用l坐標(biāo)軸上的l®0，l＝1/4, l＝1/2, l＝1, l＝2, l＝4 的6個(gè)截面和高皮克列特?cái)?shù)下的Sij的曲面相交,就可以得到6個(gè)Sij(g)的曲線。這6條Sij(g)曲線表示出以下4個(gè)特征。

　�。�1）除去l®0，l＝1所確定下來的兩條Sij(g)的曲線和g成線性關(guān)系外，其他的Sij(g)與g均成非線性關(guān)系。這是由于當(dāng)l®0，和l＝1時(shí)，粒子統(tǒng)計(jì)對(duì)分布函數(shù)pij 和g無關(guān)，而 其他條件下，粒子統(tǒng)計(jì)對(duì)分布函數(shù)pij都和g有關(guān)。

　　（2）雖然一般條件下Sij(g)與g的關(guān)系非常復(fù)雜，但當(dāng)g®0時(shí)，大家都趨于同一個(gè)極限值Sij＝－2.5，在這種情況下，當(dāng)l®0時(shí)，Sij嚴(yán)格地為－2.5，當(dāng)l不為0時(shí)，Sij與－2.5有區(qū)別，但區(qū)別不大。這個(gè)結(jié)論和愛因斯坦在20世紀(jì)初得到的懸浮體的有效粘性系數(shù)理論一致。

因?yàn)�，�?dāng)g＝0時(shí)，j 粒子為中性粒子，在重力的作用下，不會(huì)和介質(zhì)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，它和i粒子之間就不會(huì)有流體動(dòng)力相互作用。此外，當(dāng)l®0時(shí)， j粒子又不會(huì)對(duì)i粒子作用力產(chǎn)生反作用力。于是此時(shí)j 粒子的影響就僅僅表現(xiàn)為增加了懸浮體的動(dòng)能耗散率，因而作為一個(gè)均質(zhì)體系，它的有效粘性系數(shù)就應(yīng)增加。愛因斯坦的懸浮體有效粘性系數(shù)理論已指明粘性系數(shù)的增加量和粒子體積濃度j成正比，比例系數(shù)是＋2.5。因此，在這樣的均質(zhì)體系中沉降的i粒子，它的沉降速度應(yīng)減少，減少的量就應(yīng)是2.5j，這和我們現(xiàn)在得到的 Sij＝－2.5一致。另外，當(dāng)l>0時(shí)，j粒子對(duì)i粒子的作用力應(yīng)該會(huì)產(chǎn)生反射作用。因此，它和l＝0時(shí)的Sij＝－2.5有區(qū)別，但我們的計(jì)算表明，反射作用引起的效應(yīng)不大，因此沉降系數(shù)Sij的值就與－2.5相近。

　　（3）從6條Sij曲線中顯示出的第三個(gè)特征十分有趣。就是在多分散條件下，Sij有可能為正。這意味著即使是在有界空間中的平均沉降速度，也不總是阻滯沉降，比孤粒子斯托克斯沉降速度為小。恰恰相反，在g<0的條件下,Sij就有可能大于0,平均沉降速度就有可能比斯托克斯孤粒子的為大。就好像和無界空間中的沉降一樣,是增速沉降。但兩者原因不同,在無界空間中粒子云沉降增速是由于那里沒有反向補(bǔ)償流,而在這里有界空間,恰恰是因?yàn)?有反向補(bǔ)償流存在。

在g<0的條件下，i粒子和j粒子中必有一個(gè)是輕粒子，一個(gè)是重粒子，在重力的作用下它們運(yùn)動(dòng)方向相反，一個(gè)向上，一個(gè)向下，兩者都會(huì)引起反向補(bǔ)償流，所謂反向，就是和本身運(yùn)動(dòng)方向相反。它當(dāng)然就應(yīng)和另外一個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)方向相同，起增速作用了。這是一個(gè)很有意思的結(jié)果。目前的實(shí)驗(yàn)工作都在g>0條件下進(jìn)行 ，所以還沒有人測(cè)到這種增速沉降的現(xiàn)象。但我們相信，一旦實(shí)驗(yàn)工作能夠克服g<0條件下測(cè)量的困難，就一定可測(cè)到Sij>0的情況。這種情況在單分散沉降中則不可能發(fā)生，因?yàn)樵谀抢飃＝1，它是正的 ，不可能有增速沉降發(fā)生。

　�。�4）巴切勒1972年單分散硬球沉降理論，所算得的沉降系數(shù)Sij是－6.55，比一般非硬球單分散沉降實(shí)測(cè)沉降系數(shù)值為小。在1982年多分散硬球沉降理論所算得的 沉降系數(shù)Sij出現(xiàn)了更小的情況，例如在l＝2，g＝2.25的情況下，Sij可以小到接近－14的量值，比1972年的單分散理論值還要小2倍。這是因?yàn)閘很大，g也很大時(shí)，反向補(bǔ)償流可以遠(yuǎn)大于單分散的情況。

　　4．3．3．3 低皮克列特?cái)?shù)下的多分散沉降系數(shù)Sij特征

　�。�1）由于低皮克列特?cái)?shù)條件下，弱重力對(duì)平衡態(tài)的分布僅僅起微擾作用，所以，對(duì)分布pij和沉降系數(shù)Sij都應(yīng)該與g成線性分布。情況就比高皮克列特?cái)?shù)條件下簡(jiǎn)單得多，只用g的一個(gè)線性關(guān)系計(jì)算公式就可解決任何l下的問題，只不過這里線性計(jì)算公式中的斜率與截距都是l的 函數(shù)。我們已通過計(jì)算，在l從1/8到8之間選9個(gè)點(diǎn)，把斜率和截距與l關(guān)系的變化曲線給出，于是利用這兩個(gè)曲線，可以把l在1/8到8之間中全部g的變化范圍內(nèi)之沉降系數(shù)算得。

　�。�2）由于在l®0，和l®∞時(shí)，已經(jīng)證明此時(shí)的對(duì)分布pij應(yīng)趨于1的極限，而與g無關(guān)，也與皮克列特?cái)?shù)大小無關(guān)。因此存在著兩個(gè)l®0，和l®∞時(shí)的沉降系數(shù)Sij與g的線性漸近線，這兩個(gè)漸近線是普適的對(duì)任何皮克列特?cái)?shù)均適用。因此，可以得到一個(gè)線性的經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算低皮克列特?cái)?shù)條件下的全部沉降系數(shù)Sij。這個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，有足夠的精度適用于（l，g）半無界平面上所有點(diǎn)。（0≦l≦∞，－∞≦g≦＋∞）。

　�。�3）從上面的經(jīng)驗(yàn)公式馬上可以看到，在低皮克列特?cái)?shù)范圍，當(dāng)g為負(fù)值時(shí)，也存在一個(gè)增速區(qū)域，在那里所有的沉降系數(shù)Sij不再為負(fù)，而取正值，原來的阻滯沉降轉(zhuǎn)化為增速沉降，而這又是單分散沉降所不可能。在單分散沉降中，多粒子作用下的平均沉降永遠(yuǎn)比斯托克斯孤粒子沉降速度為小，阻滯沉降是唯一狀態(tài)。

　　4．3．3．4 高和低皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)Sij之間的比較

　　從前兩節(jié)的特征可以看出，高低兩種皮克列特?cái)?shù)下沉降系數(shù)Sij有許多不同�，F(xiàn)在要進(jìn)一步比較這兩種條件下Sij的量值大小。Sij受l和g兩個(gè)參數(shù)的影響。這里我們?nèi)�g＝1，只對(duì)不同l下的Sij進(jìn)行比較。從中發(fā)現(xiàn)不管此時(shí)l取何值，高皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)Sij永遠(yuǎn)比低皮克列特?cái)?shù)下的Sij為大。把兩種情況下的對(duì)分布函數(shù)pij和無量綱的兩粒子中心距離s的關(guān)系點(diǎn)出圖來，則可以看到高皮克列特?cái)?shù)條件下的對(duì)分布pij。在碰撞面上（s=2）是一奇點(diǎn)，也就是說，當(dāng)重力對(duì)流起支配作用時(shí)，它有一種堆積效應(yīng)，可以把j粒子從無窮遠(yuǎn)處輸送到i粒子的鄰域，在i粒子的鄰域堆積起來。此時(shí)j粒子在重力的作用下下沉?xí)�拖帶其鄰域的介質(zhì)一起下沉，因而對(duì)在其鄰域的i粒子處產(chǎn)生了一個(gè)下沉的背景流場(chǎng)。由此自然會(huì)增加i粒子的沉降速度。這種作用就是j粒子對(duì)i粒子直接的局地的流體動(dòng)力相互作用。這種局地的相互作用和上面多次提到的j粒子的總體的流體動(dòng)力相互作用完全相反，在那里它的具體表現(xiàn)形式是反向補(bǔ)償流，由此自然會(huì)減少i粒子的沉降速度。而對(duì)于低皮克列特?cái)?shù)下的對(duì)分布pij，顯然就是均勻分布其歸一化值恒為1，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于高皮克列特?cái)?shù)下碰撞面上的奇點(diǎn)值。顯然，當(dāng)布朗擴(kuò)散起支配作用時(shí)，它就可光滑掉曾在高皮克列特?cái)?shù)時(shí)存在過的那個(gè)奇點(diǎn)，把j粒子從i粒子鄰域推向無窮遠(yuǎn)處，因而大大降低了j粒子對(duì)i粒子的直接的局地的流體動(dòng)力相互作用，降低了i粒子的沉降速度，它的沉降系數(shù)Sij自然應(yīng)該比高皮克列特?cái)?shù)下的小。于是從高低兩種皮克列特?cái)?shù)下沉降系數(shù)量值的比較，我們看到了與總體相互作用的反向補(bǔ)償流完全相反的，局地的直接的流體動(dòng)力相互作用。這種作用是正的增速作用。

　　4．3．3．5 對(duì)分布pij和沉降系數(shù)Sij極限不唯一

　　描述粒子對(duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)分布方程的參數(shù)一共有三個(gè)，即l，g和Dij (0)。其中第三個(gè)參數(shù)是兩粒子相距無窮遠(yuǎn)時(shí)相對(duì)布朗擴(kuò)散系數(shù)。這三個(gè)參數(shù)的極限值分別是1，1，0。

在處理完單分散與多分散，高皮克列特?cái)?shù)與低皮克列特?cái)?shù)沉降以后，我們還發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，對(duì)這個(gè)多極值的問題，對(duì)分布函數(shù)pi的解并不唯一。相應(yīng)的沉降系數(shù)Sij也不唯一，一切取決于這三個(gè)參數(shù)趨于它們的各自極限值的快慢。如果l→1，g→1，在先，而 布朗擴(kuò)散系數(shù)Dij (0)趨于0在后，這就是1972年巴切勒自己處理過的單分散懸浮體，對(duì)分布為均勻分布?xì)w一化后的數(shù)值恒為1，此時(shí)它的沉降系數(shù)Sij最小，為－6.55。反過來，如果Dij (0) →0在先，就是我們1982年得到的多分散高皮克列特?cái)?shù)下的懸浮體，它的對(duì)分布pij在s=2的碰撞面上有一個(gè)奇點(diǎn)，重力對(duì)流可把j粒子從無窮遠(yuǎn)處堆積到i粒子鄰域，沉降系數(shù)Sij也就比單分散為大。其中又分兩種情況，當(dāng)g→1在先，l→1在后時(shí)，對(duì)分布pij趨于無窮速度慢一些，沉降系數(shù)Sij較前小些，但仍比單分散為大 量值為－5.12。反之，當(dāng)l→1在先，而g→1在后時(shí)，對(duì)分布pij趨于無窮的速度快一些，沉降系數(shù)Sij最大，是－2.65。

　　這個(gè)新發(fā)現(xiàn)對(duì)單分散沉降實(shí)驗(yàn)工作提出了相當(dāng)苛刻的要求。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　因?yàn)榱Ｗ拥钠た肆刑財(cái)?shù)大小和它的半徑的4次方成正比，非常敏感�？梢宰C明對(duì)水溶膠系統(tǒng)而言，若單分散粒子的半徑，在制備時(shí)存在10％的誤差，則半徑分別為1，2，3微米時(shí)，各自的皮克列特?cái)?shù)已是1.6，25.6和129.6。

顯然，這不但不是單分散的0皮克列特?cái)?shù)，而實(shí)際上是多分散的高皮克列特?cái)?shù)，自然對(duì)這種懸浮體，所測(cè)出的沉降系數(shù)Sij必然會(huì)比巴切勒1972年理論值－6.55為大。因此對(duì)單分散實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中粒子半徑制備的誤差應(yīng)要求更高，應(yīng)該使之達(dá)到千分之一，甚至萬分之一才可以算是真正的單分散系統(tǒng)，否則測(cè)出的數(shù)據(jù)就不再能代表單分散體系。

　　4．3．4 檢驗(yàn)和影響

　　4．3．4．1 來自自己人的檢驗(yàn)

　　沒有想到第一個(gè)來檢驗(yàn)我們這個(gè)多分散沉降理論的竟然是自己人，是巴切勒的懸浮體力學(xué)小組的辛奇（Hinch） 和萊利森（Raillison），他們自己的課題并不是沉降，他們之所以要檢驗(yàn)我們沉降的理論正確與否，是因?yàn)樗麄兊难芯恳�用到我們這個(gè)剛完成的沉降理論中所提供的數(shù)據(jù)。他們并不因?yàn)榘颓欣帐莻�(gè)久經(jīng)考驗(yàn)的國(guó)際公認(rèn)的大權(quán)威，就放棄自己的獨(dú)立思考。他們是用同樣的“西風(fēng)凋碧樹”精神來對(duì)待自己的頂頭上司巴切勒的成果。只有經(jīng)過自己檢驗(yàn)證明是正確的，他們才采用。他們采用另一種方法重新推導(dǎo)了多分散沉降的理論，果然讓他們發(fā)現(xiàn)了問題，這問題不是出在我的計(jì)算工作，也不是出在杰弗瑞所提供的遷移率數(shù)據(jù)，令人十分遺憾地是，這問題竟然出在巴切勒自己身上。原來巴切勒在推導(dǎo)低皮克列特?cái)?shù)沉降系數(shù)計(jì)算公式的過程中，有一項(xiàng)的符號(hào)弄反了，導(dǎo)致結(jié)果全錯(cuò)。當(dāng)然，這是個(gè)技術(shù)性的錯(cuò)誤，不是概念性的錯(cuò)誤，糾正它并不困難。他們把這個(gè)結(jié)論顯示給巴切勒看，巴切勒看后承認(rèn)了自己的錯(cuò)誤，并在第二年，1983年在同樣是由他自己主編的《JFM》上發(fā)表了一篇糾正錯(cuò)誤的短文，承認(rèn)自己在1982年在《JFM》上發(fā)表的多分散沉降理論中，關(guān)于低皮克列特?cái)?shù)沉降系數(shù)的計(jì)算公式有錯(cuò)，并在該文中給出了糾正錯(cuò)誤以后的新結(jié)果。這個(gè)教訓(xùn)是深刻的，它說明不管是多大的權(quán)威，也不管對(duì)自己的工作多么的小心謹(jǐn)慎，也難免會(huì)犯錯(cuò)誤。出了錯(cuò)誤應(yīng)該怎么辦，這里巴切勒也提供了一個(gè)范例，那就是及時(shí)地公開地承認(rèn)錯(cuò)誤，在什么范圍內(nèi)出的錯(cuò)誤，就在什么范圍內(nèi)糾正，這仍不失為一個(gè)大科學(xué)家的本色，特別值得我們學(xué)習(xí)。

　　4．3．4．2 戴維斯和�？死镂炙沟木C合述評(píng)

　　1985年戴維斯和埃克里沃斯在美國(guó)的《流體力學(xué)年鑒》上發(fā)表了一個(gè)沉降課題的綜合述評(píng)。述評(píng)總結(jié)了自1912年斯莫魯霍夫斯基工作以來，關(guān)于多粒子相互作用下懸浮粒子沉降的研究工作。對(duì)于多分散懸浮粒子的沉降，他們指出這工作起自1965年史密斯（Smith）的研究。自那以后，特別是在70年代又有了一系列的工作。不過，戴維斯和埃克里沃斯指出，那些工作都是沿用晶格法或殼層法的路線進(jìn)行，直到1982年巴切勒和我的工作發(fā)表，才第一次有了多分散沉降的統(tǒng)計(jì)理論的嚴(yán)格解。對(duì)于單分散沉降，該述評(píng)講述了巴切勒1972年理論的成功同時(shí)，也指出，仍然有一些數(shù)據(jù)表明，阻滯沉降量可與粒子體積濃度j的1/3次方成正比,說明在這些情況下,有可能晶格法和殼層法還是可用的理論,其原因他們認(rèn)為這可能是由于這類實(shí)驗(yàn)所用的粒子比較大,布朗運(yùn)動(dòng)十分弱,因而統(tǒng)計(jì)理論無法適用。對(duì)于這問題本章最后一節(jié)還要加以討論。

　　4．3．4．3 高皮克列特?cái)?shù)下沉降的實(shí)驗(yàn)研究

　　由于巴切勒和我1982年多分散沉降理論顯示出和1972年單分散沉降的巨大差異，因而引起實(shí)驗(yàn)科學(xué)家的濃厚興趣。終于伯德塞爾（Birdsell）和戴維斯在1988年突破了多分散沉降實(shí)驗(yàn)的困難取得了這方面的第一批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)在高皮克列特?cái)?shù)條件下進(jìn)行，包括兩組數(shù)據(jù)，第一組由丙烯酸和玻璃兩種粒子組成。粒子很大，前者直徑為135微米，后者直徑為136微米。這可保證有足夠高的皮克列特?cái)?shù)，達(dá)到了107到109，但又使這兩種粒子懸浮在一種混合液體中（由49％的UCON-280 X和51%的蒙桑托（Monsanto）HB40液體混合而成）這種混合液體的粘性系數(shù)十分大，是空氣的480倍，所以又可保證這些大粒子沉降時(shí)的雷諾數(shù)十分小。兩種粒子的大小比l＝0.99，接近于1。而丙烯酸的密度非常小僅為1.185克/厘米3。與混合溶液的密度十分接近。后者密度為1.015 克/厘米3。玻璃的密度為2.49 克/厘米3,比混合溶液大2.5倍.因此它的g很小,為0.11。接近中性粒子，第二組實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)則均為玻璃粒子構(gòu)成，因此g＝1。兩粒子大小不同，小粒子直徑為136微米，大粒子為261微米，l＝0.52,雖然大粒子直徑到了261微米，但介質(zhì)仍然使用同一種粘性系數(shù)十分大的溶液,所以雷諾數(shù)仍然十分小,仍然在斯托克斯 沉降公式適用范圍。測(cè)量表明，在實(shí)驗(yàn)誤差范圍之內(nèi)，它們與巴切勒和我1982年理論預(yù)測(cè)一致。理論第一次得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

　　4．3．4．4 第一次載在國(guó)際膠體科學(xué)的發(fā)展史上

　　1989年，也就是伯德塞爾和戴維斯發(fā)表了他們第一批高皮克列特?cái)?shù)下多分散沉降實(shí)驗(yàn)后的第二年，在美國(guó)普林斯頓大學(xué)工作的三位著名膠體科學(xué)家羅塞爾,薩維里（Saville）和肖瓦爾特發(fā)表了他們的專著《膠體分散系統(tǒng)》。膠體科學(xué)的研究產(chǎn)生于幾個(gè)世紀(jì)以前對(duì)懸浮于膠體中微小粒子各種性質(zhì)的研究，二次世界大戰(zhàn)后，由于工業(yè)發(fā)展的需要，特別是由于化工的發(fā)展，石油工業(yè)的發(fā)展，新燃料研制的發(fā)展，環(huán)境保護(hù)工作中的污染控制研究的發(fā)展，以及生物技術(shù)的發(fā)展，膠體科學(xué)就得到了很大的推動(dòng)力。物理學(xué)，統(tǒng)計(jì)力學(xué)，特別是流體力學(xué)等學(xué)科相繼滲透到膠體科學(xué)中來，使這門科學(xué)發(fā)生了很大的變化。

對(duì)許多現(xiàn)象的理解更定量化了，更理論化了。羅塞爾(Russel)等人的這本書就是上述發(fā)展的一個(gè)出色的總結(jié)。它既是一本很好的國(guó)際膠體科學(xué)發(fā)展史，又是一本很好的研究生教材。各章后面都附有相應(yīng)的習(xí)題。從出版以后到現(xiàn)在，十幾年來這本書已經(jīng)成為這一領(lǐng)域中影響很大的著作。在這本專著中，他們辟有一章專講懸浮粒子的沉降，其中又有一節(jié)專門講多分散懸浮粒子的沉降，與1985年戴維斯和�？死镂炙沟木C合述評(píng)不同，羅塞爾等人把史密斯自1965年開始的，用晶格法殼層法研究多分散沉降的工作，置于不顧，他們?cè)谶@些章節(jié)中，把力量完全集中在講述1982年巴切勒和我發(fā)表的多分散沉降的統(tǒng)計(jì)理論，并且重新分析了頭一年伯德塞爾和戴維斯發(fā)表的高皮克列特?cái)?shù)下沉降的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。由于伯德塞爾的實(shí)驗(yàn)測(cè)量的是速度，而不是沉降系數(shù)，羅塞爾等人經(jīng)過重新計(jì)算，得到了相應(yīng)的兩個(gè)沉降系數(shù)，一個(gè)是丙烯酸粒子和玻璃粒子（l＝0.99，g＝0.11），一個(gè)是兩種大小不同的玻璃粒子（l＝0.52，g＝ 1），把這兩個(gè)測(cè)量出的數(shù)據(jù)換算成沉降系數(shù)點(diǎn)在巴切勒和我1982年發(fā)表的高皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)圖上，從而再次證明，在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)與我們理論預(yù)測(cè)一致。

　　4．3．4．5 低皮克列特?cái)?shù)下沉降的實(shí)驗(yàn)研究

　　1992年同樣由兩位美國(guó)學(xué)者埃爾納法和塞里姆完成了第一批低皮克列特?cái)?shù)下多分散沉降的實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)中的粒子比1988年伯德塞爾和戴維斯高皮克列特?cái)?shù)下的粒子小很多，是亞微米量級(jí)的，這可保證實(shí)驗(yàn)在低皮克列特?cái)?shù)條件下進(jìn)行，埃爾納法和塞里姆的懸浮系統(tǒng)由不帶電荷的，覆蓋了一層薄膜以屏蔽掉范德瓦爾斯分子引力勢(shì)的二氧化硅粒子和環(huán)已烷液體所組成，粒子半徑分別是0.242±0.012微米, 0.130±0.007微米， 0.065±0.0045 微米。粒子間的成分仍然有不同， 所以它們的密度分別是2.061克/厘米3, 1.924克/厘米3 ，1.780克/厘米3。環(huán)已烷液體的密度則是0.775 克/厘米3。由此組成了三種雙分散體系，由三種不同的（l，g）組合而成，實(shí)驗(yàn)仍然用光學(xué)系統(tǒng)測(cè)量界面的沉降速度，以此來確定粒子的平均沉降速度。埃爾納法和塞里姆把他們的測(cè)量和巴切勒與我的低皮克列特?cái)?shù)下多分散沉降理論預(yù)測(cè)進(jìn)行了比較，從而又發(fā)現(xiàn)它們之間一致。

　　4．3．4．6 再一次登載在國(guó)際膠體科學(xué)發(fā)展史上

　　1996年歐洲著名膠體科學(xué)家東特（Dhont）發(fā)表了他的專著《膠體動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》，當(dāng)東特發(fā)表這本著作時(shí)，他是荷蘭烏特賴特（Utrecht）大學(xué)物理和膠體化學(xué)范特霍夫（van’t Hoff）實(shí)驗(yàn)室的教授。但現(xiàn)在已被德國(guó)請(qǐng)去，正在德國(guó)發(fā)展。這是繼1989年美國(guó)的普林斯頓大學(xué)羅塞爾等人的膠體著作之后，又一本對(duì)膠體科學(xué)的發(fā)展，特別是二次世界大戰(zhàn)以來的發(fā)展的出色總結(jié)。與羅塞爾等人的著作不同，羅塞爾等人側(cè)重從物理的角度對(duì)膠體科學(xué)進(jìn)行了總結(jié)，而東特這本書，則側(cè)重從動(dòng)力學(xué)的角度進(jìn)行總結(jié)。這仍然既是一本國(guó)際膠體動(dòng)力學(xué)發(fā)展史，也是一本很好的研究生教材，各章后面都附有相應(yīng)的習(xí)題。東特在他的著作中，也辟有一章專門講述沉降問題。在講到多分散沉降過程時(shí)，東特也和羅塞爾等人一樣，把自1965年史密斯的工作開始直至1982年 巴切勒和我的工作以前，所有用晶格法和殼層法研究多分散沉降的工作，置之于不顧，而只講巴切勒和我的1982年統(tǒng)計(jì)理論工作。表明我們的理論在國(guó)際上已為同行們所接受。至于單分散沉降問題，東特除了講巴切勒1972年的工作外，還提到了1942年伯杰斯的工作，1964年皮恩與菲克斯曼的工作，以及后來奧布萊恩（O’Brien）1979年的工作和辛奇1977年的工作。這很自然特別是伯杰斯以及皮恩與菲克斯曼的工作，他們是用統(tǒng)計(jì)理論解決單分散沉降的先驅(qū)，巴切勒1972年理論，是在他們工作的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展。顯然，先驅(qū)者們的工作不應(yīng)該被忘記。

　　4．3．4．7 強(qiáng)大的生命力

　　巴切勒和我的這個(gè)多分散沉降統(tǒng)計(jì)理論，從一開始就顯示出它的魅力，引起國(guó)際同行的濃厚興趣。在它正式發(fā)表前就已先后在波蘭1981年國(guó)際流體力學(xué)會(huì)議上和維也納歐洲力學(xué)學(xué)會(huì)第144次會(huì)議上報(bào)告，并受到蘇黎世理工大學(xué)流體力學(xué)研究所的邀請(qǐng)，1982年專程到他們那里講述這個(gè)理論。在這一工作正式發(fā)表之后，又經(jīng)歷了上述國(guó)際同行從不同方面對(duì)這一理論進(jìn)行的檢驗(yàn)，而最終確立了它在相關(guān)國(guó)際領(lǐng)域中的地位，發(fā)揮著廣泛而深遠(yuǎn)的影響。直到現(xiàn)在，距離1982年該工作發(fā)表起，已經(jīng)過去了二十多年，這工作不但沒有被人忘記，反而越來越顯示出它的光輝。現(xiàn)在每年從國(guó)際科學(xué)文獻(xiàn)索引《SCI》系統(tǒng)中，總會(huì)檢索出好多篇國(guó)際同行引用我們1982年沉降理論的文章，所涉及的學(xué)科范圍很廣，有發(fā)表在物理，化學(xué)，流體力學(xué)，膠體科學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域的學(xué)術(shù)刊物上，也有發(fā)表在應(yīng)用研究和各種各樣的工業(yè)技術(shù)上的學(xué)術(shù)刊物上，展現(xiàn)出它的強(qiáng)大的生命力。成為我那“閃光的8個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)”中最為光芒四射中的一個(gè)。當(dāng)然這個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)的主要?jiǎng)?chuàng)造人是巴切勒，我只不過是他的一個(gè)助手。然而，能夠成為他的一個(gè)助手，幫他建立起既在基礎(chǔ)科學(xué)領(lǐng)域又在工程技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域都有十分重要意義的，這樣一個(gè)重大理論，我感到無比榮幸和自豪。證明我當(dāng)年在劍橋的選擇完全正確。

　　4．3．5 粒子間相互作用勢(shì)的影響

　　說到巴切勒1972年單分散沉降理論以及巴切勒和我1982年多分散沉降理論的成功時(shí)，也應(yīng)該承認(rèn)在應(yīng)用上，它們離實(shí)際尚遠(yuǎn)。首先，這兩個(gè)理論都是探討沒有相互作用勢(shì)的硬球粒子，但實(shí)際上不管實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，還是工程實(shí)際，大多懸浮粒子都具勢(shì)，只有給它們穿上一層“衣服”，像1992年埃爾納法和塞里姆那樣，給他們的二氧化硅粒子覆蓋上一層薄膜，屏蔽掉分子引力勢(shì)，并設(shè)法去除掉電荷，才變成硬粒子。否則，人們就必須考慮粒子間相互作用勢(shì)所帶來的效應(yīng)。事實(shí)上這效應(yīng)十分重要，它是懸浮粒子系統(tǒng)從穩(wěn)定到不穩(wěn)定轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，從而使沉降從一般的阻滯沉降轉(zhuǎn)化到增速沉降的關(guān)鍵，自然有加以詳細(xì)研究的必要。

　　最早研究粒子間相互作用勢(shì)對(duì)沉降的影響，還是巴切勒自己。1982年他在和我計(jì)算多分散硬粒子沉降的同時(shí)，也討論了具勢(shì)的單分散粒子沉降問題。他建議一種3段模型來描述薄雙電荷層庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)和范德瓦爾斯分子引力勢(shì)同時(shí)存在時(shí)的相互作用勢(shì)，當(dāng)無量綱粒子間隙小于雙電荷層厚度x0時(shí)，就假定在這個(gè)區(qū)間里，粒子間的相互作用勢(shì)為一無窮大斥力勢(shì)所控制。當(dāng)無量綱粒子間隙大于x0 ，另一方面卻小于0.2時(shí)，又假定相互作用勢(shì)為純范德瓦爾斯 分子引力勢(shì)所控制，此段內(nèi)斥力勢(shì)被假定為0。最后，當(dāng)無量綱粒子間隙大于0.2時(shí)，再假定范德瓦爾斯分子引力勢(shì)也變?yōu)?。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　　這相當(dāng)于在第三章中講到的DLVO 理論中的主極小勢(shì)阱，已為無窮大勢(shì)壘所屏蔽掉，而DLVO 理論中的第二極小勢(shì)阱，就是現(xiàn)在在雙電荷層頂上，由無窮大勢(shì)壘和范德瓦爾斯分子引力勢(shì)相交點(diǎn)所形成。巴切勒正確地估計(jì)到一般具勢(shì)粒子單分散沉降系數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大于他1972年理論預(yù)測(cè)的－6.55，就是由于在薄雙電荷層頂上存在著由范德瓦爾斯分子引力勢(shì)形成的第二極小勢(shì)阱。在這里將會(huì)形成一批不那么緊密的束縛（i,j）粒子對(duì)，此時(shí)j粒子的局地的直接流體動(dòng)力相互作用將會(huì)使i粒子沉降速度增加，從而使具勢(shì)單分散粒子沉降系數(shù)大于－6.55。他把這模型拿來和程（Cheng）和沙什曼（Schachman）1955的具勢(shì)粒子單分散沉降實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比較，這個(gè)實(shí)驗(yàn)采用了聚苯乙烯粒子，半徑為0.13微米,懸浮在濃度為0.1摩爾的氯化鈉水溶液中,測(cè)得的沉降系數(shù)為-5.1,無量綱薄電荷層厚度為0.0077。此外，巴切勒還用這個(gè)3段勢(shì)模型和巴斯卡爾（Buscall）小組1982年的具勢(shì)粒子單分散沉降實(shí)驗(yàn)來比較，該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)也采用了聚苯乙烯粒子半徑為1.55微米,懸浮在濃度為0.001摩爾的氯化鈉水溶液中,測(cè)得的沉降系數(shù)為-5.4±0.1,無量綱雙電荷層厚度為0.0065，比較的結(jié)果定性地可以解釋具勢(shì)粒子單分散沉降實(shí)驗(yàn)值與1972年單分散理論預(yù)測(cè)之間的偏差。但定量而言，相差還嫌太大。例如對(duì)1955 年 程 和沙什曼的實(shí)驗(yàn)，無量綱雙電荷層厚度理論值是0.02,比實(shí)測(cè)值0.0077大三倍。對(duì)1982年巴斯卡爾小組的實(shí)驗(yàn)，無量綱雙電荷層厚度的理論值為0.009也比實(shí)測(cè)值0.0065為大.其原因在于巴切勒1982年的3段模型在雙電荷層以外完全忽略了斥力勢(shì)的影響,這不對(duì)。實(shí)際上在雙電荷層以外,庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)仍然存在,不計(jì)算它們的影響就勢(shì)必會(huì)使雙電荷層厚度的理論值偏大。

　　1989年羅塞爾等人在他們的著作《膠體分散系統(tǒng)》中,采用了巴克斯特(Baxter)在1968年提出的一種排斥吸附殼模型研究這種勢(shì)對(duì)單分散沉降的影響。巴克斯特排斥吸附殼模型假定薄雙電荷層庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)和范德瓦爾斯分子引力勢(shì),可集中在一個(gè)半徑為S0 的殼上。殼的內(nèi)側(cè)為一無窮大勢(shì)壘,殼的外側(cè)為一強(qiáng)度是1/t的吸附力,j粒子可被吸附于其上。

殼以外則假定沒有勢(shì)的作用。羅塞爾等人把這個(gè)排斥吸附殼的勢(shì)放到沉降積分中去,就得到沉降系數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算公式,只要知道S0 和1/t兩個(gè)參數(shù),就可用該代數(shù)公式,很方便地算出相應(yīng)的沉降系數(shù)。

羅塞爾等人對(duì)程和沙什曼1955年實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了計(jì)算,得到沉降系數(shù)的理論值是-5.0,與實(shí)測(cè)值-5.1十分接近。

但對(duì)巴斯卡爾小組1982年實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了計(jì)算,得到沉降系數(shù)的理論值是-6.5,與實(shí)測(cè)值-5.4 相差較大。

羅塞爾等人的工作有兩個(gè)缺點(diǎn),一是如何得到S0 和1/t兩參數(shù)值。當(dāng)這兩個(gè)參數(shù)已經(jīng)得到后,計(jì)算沉降系數(shù)確很簡(jiǎn)單。但實(shí)際上沒這么容易,問題在于為要得到S0 和1/t兩個(gè)參數(shù),仍需要知道引力勢(shì)和斥力勢(shì)的具體形式,而且仍然要把這個(gè)具體形式的勢(shì)放到兩個(gè)積分中去進(jìn)行數(shù)值積分。.而究竟羅塞爾等人對(duì)引力勢(shì)和斥力勢(shì)取什么具體形式,這一關(guān)鍵問題, 他們又未說明。

該工作的第二個(gè)缺點(diǎn)是我在南開大學(xué)的博士生王浩在1998年發(fā)現(xiàn)的。王浩在他的博士學(xué)位論文中,檢查了他們的工作,發(fā)現(xiàn)他們對(duì)程和沙什曼1955年的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤。按羅塞爾等人給的S0 和1/t和他們給的沉降系數(shù)計(jì)算公式,算得的理論值應(yīng)是-4.5,而不是他們的-5.0,較之實(shí)測(cè)值-5.1相差較大。王浩把他的計(jì)算展示給我,我核對(duì)以后確認(rèn)了王浩的這一發(fā)現(xiàn)，并于1998年把他的這一發(fā)現(xiàn),連同他自己的新工作投送到《美國(guó)化學(xué)工程學(xué)會(huì)會(huì)刊》。經(jīng)過審稿人較長(zhǎng)時(shí)間的審查,后來還包括該刊主編也參加進(jìn)來審查,最后確定王浩的工作正確無誤,才予以發(fā)表�？磥硗鹾频倪@種不迷信權(quán)威,按照“西風(fēng)凋碧樹”的第一境界來開展工作,是可以和本章前面提到的劍橋?qū)W者辛奇和萊利森不迷信巴切勒的精神相比美。

　　我交給王浩的博士學(xué)位論文工作,是研究粒子間相互作用勢(shì)對(duì)粒子沉降的影響。粒子間勢(shì)準(zhǔn)備采用第三章講到的德加金(Derjaguin)得到的薄雙電荷層庫(kù)侖靜電斥力勢(shì),和哈馬克得到的 分子引力勢(shì)按DLVO理論加起來即可。但不久,王浩就發(fā)現(xiàn)有問題。原來由哈馬克 按點(diǎn)分子假定計(jì)算出的 分子引力勢(shì),在粒子間隙趨于0時(shí),是無窮深的勢(shì)阱,由此會(huì)使沉降積分發(fā)散,系統(tǒng)無法穩(wěn)定。即使改進(jìn)哈馬克點(diǎn)分子近似,使用有界大小的分子,這樣得到的主極小仍然太深,還會(huì)使沉降積分發(fā)散,系統(tǒng)仍無法穩(wěn)定。由此我們領(lǐng)會(huì)到當(dāng)初巴切勒在雙電荷層頂確立一無窮勢(shì)壘以把主極小屏蔽掉的必要,也就同時(shí)體會(huì)到羅塞爾等人在排斥吸附殼內(nèi)側(cè)確立一無窮大的勢(shì)壘的必要。不過現(xiàn)在在什么地方安放這一無窮勢(shì)壘,則應(yīng)與他們有所不同,在這里針對(duì)我們用DLVO理論得到的粒子間總的相互作用勢(shì)情況,一個(gè)自然的選擇應(yīng)是把這一無窮勢(shì)壘安放在DLVO的勢(shì)壘上,它自然就把主極小屏蔽掉。于是我們得到了一個(gè)新的穩(wěn)定系統(tǒng)的具勢(shì)粒子間總的相互作用勢(shì)模型, 以此做為依據(jù)就可以研究它對(duì)單分散沉降的影響,也可以研究對(duì)多分散沉降的影響。首先和1955年程和沙什曼具勢(shì)單分散沉降實(shí)驗(yàn)比較,現(xiàn)在沉降系數(shù)理論值是-5.1,與實(shí)測(cè)值一致,無量綱雙電荷層厚度之理論值是0.0076,也與實(shí)測(cè)值0,0077十分接近。對(duì)于1982年巴斯卡爾小組的具勢(shì)單分散沉降實(shí)驗(yàn),沉降系數(shù)的理論值是-5.0,實(shí)測(cè)值是-5.4±0.1相差不大。無量綱雙電荷層厚度,理論值是0.008,也與實(shí)測(cè)值0.0065相差不大。通過這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的比較,證明王浩的這個(gè)新的穩(wěn)定系統(tǒng)薄雙電荷層粒子間總的相互作用勢(shì),要比以往的工作改善很多,進(jìn)一步的計(jì)算與分析證明,無論對(duì)具勢(shì)單分散,還是對(duì)具勢(shì)多分散,無論對(duì)具勢(shì)低皮克列特?cái)?shù)多分散,還是對(duì)具勢(shì)高皮克列特?cái)?shù)多分散,薄雙電荷層厚度的大小,都是影響沉降系數(shù)大小的一個(gè)關(guān)鍵因素。當(dāng)薄雙電荷層厚度進(jìn)一步變小時(shí),它的無窮勢(shì)壘就進(jìn)一步收縮, 分子引力勢(shì)范圍就會(huì)進(jìn)一步擴(kuò)大,第二極小勢(shì)阱深度就會(huì)進(jìn)一步加深。被吸進(jìn)第二極小的j粒子與i粒子形成束縛粒子對(duì)的數(shù)目就會(huì)進(jìn)一步加多, j粒子的局地的直接的流體動(dòng)力相互作用也就會(huì)進(jìn)一步加大。因此, i粒子的沉降系數(shù)也就必然會(huì)進(jìn)一步加大。當(dāng)雙電荷層厚度變得足夠小時(shí),無窮勢(shì)壘也就會(huì)收縮得足夠多,以致它不能再把主極小屏蔽掉,第二極小就與主極小合并,系統(tǒng)就會(huì)由穩(wěn)定轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定,阻滯沉降就會(huì)轉(zhuǎn)化為增速沉降,沉降速度會(huì)大大加快,粒子會(huì)迅速地從懸浮體沉淀分離出來。由此可見，粒子間相互作用勢(shì)對(duì)粒子沉降的影響是個(gè)很關(guān)鍵的因素。當(dāng)然高皮克列特?cái)?shù)與低皮克列特?cái)?shù)情況有所不同,由于高皮克列特?cái)?shù)下重力對(duì)流的堆積效應(yīng),已經(jīng)有相當(dāng)多的j粒子堆積在i粒子的周圍,因此由雙電荷層厚度變薄引起的效應(yīng)就不如低皮克列特?cái)?shù)情況那么突出,還應(yīng)該指出,穩(wěn)定系統(tǒng)的這個(gè)無窮大的勢(shì)壘問題,對(duì)于理論工作還是一個(gè)挑戰(zhàn),這個(gè)無窮勢(shì)壘現(xiàn)在是人為地加上去而不是理論自然地導(dǎo)出,如何從理論上嚴(yán)格地導(dǎo)出這個(gè)無窮勢(shì)壘來,還有一段路要走。

　　4．3．6非極限沉降

　　和20世紀(jì)初斯莫魯霍夫斯基建立的兩種極限碰并理論相似，巴切勒和我1982年多分散沉降理論實(shí)際上乃是兩種極限沉降理論,而和實(shí)際相距甚遠(yuǎn)。這是1982年理論的第二個(gè)缺點(diǎn)。

因此,為使理論能解決更多的實(shí)際問題,有必要進(jìn)一步研究非極限沉降理論。不久前我在南開大學(xué)的研究生劉新春，于瑞泉以及張連眾對(duì)高皮克列特?cái)?shù)下弱布朗運(yùn)動(dòng)作用做了進(jìn)一步探討。我們發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)奇異擾動(dòng)問題。由于完全忽略了弱布朗運(yùn)動(dòng)后對(duì)分布的解,在兩球間隙x=0 的碰撞面上是一個(gè)奇點(diǎn),這就必然會(huì)使相應(yīng)的布朗擴(kuò)散通量在兩球碰撞面上,也是一個(gè)奇點(diǎn)。于是，這和討論沉降時(shí)面對(duì)的是穩(wěn)定懸浮體之前提相矛盾，說明在兩球碰撞面上的鄰域,必然有一邊界層存在,在這個(gè)邊界層中,布朗運(yùn)動(dòng)不再能忽略,而不管皮克列特?cái)?shù)是如何之大。這樣在邊界層的內(nèi)邊界上,就可確定一個(gè)布朗擴(kuò)散通量為0的反射壁條件,由此求出布朗運(yùn)動(dòng)邊界層中的解后,就可研究弱布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)重力極限沉降的影響。問題和第二章中談到的分子引力邊界層求解問題在數(shù)學(xué)上十分相似,使用和第二章相似的MLB多次變換方法,我們得到了布朗運(yùn)動(dòng)邊界層方程的解析解,這個(gè)解較第二章要復(fù)雜,它包含了一個(gè)不大常用的特殊函數(shù)，即合流超幾何函數(shù)。計(jì)算表明,布朗運(yùn)動(dòng)有十分強(qiáng)大的光滑能力。盡管是弱布朗運(yùn)動(dòng),但只要加進(jìn)一點(diǎn)點(diǎn),原來對(duì)分布在x=0的碰撞面上的奇點(diǎn)就被光滑掉了。在碰撞面上的粒子被布朗擴(kuò)散反射回來,離開了i粒子,降低了j粒子的局地的流體動(dòng)力相互作用,也就降低了i粒子的沉降速度,沉降系數(shù)也就相應(yīng)地降低了。當(dāng)然,當(dāng)粒子大小比l小于1時(shí),這個(gè)弱布朗作用并不明顯。但當(dāng) l>1,比如增加到8,弱布朗作用,會(huì)使沉降系數(shù)明顯降低。如果1988年 伯德塞爾和戴維斯的高皮克列特?cái)?shù)沉降實(shí)驗(yàn),也測(cè)量了l=8的情況,他們就會(huì)在那時(shí)發(fā)現(xiàn)巴切勒和我1982年理論的缺點(diǎn)。

　　對(duì)于中皮克列特?cái)?shù)，重力對(duì)流和布朗運(yùn)動(dòng)的效應(yīng)量級(jí)相當(dāng)時(shí)的沉降是一個(gè)更復(fù)雜的問題，此時(shí)微擾方法不再能適用。對(duì)此，王浩在他的博士學(xué)位論文中創(chuàng)造了一種更為簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算方案，計(jì)算了從低皮克列特?cái)?shù)10－4開始，經(jīng)由中皮克列特?cái)?shù)，一直到高皮克列特?cái)?shù)105為止。在計(jì)算中，不僅研究了重力對(duì)流和布朗擴(kuò)散耦合作用，還同時(shí)研究了范德瓦爾斯分子引力勢(shì)和薄雙電荷層庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)的耦合作用。是一次較全面的分析，從中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣現(xiàn)象，在有引力勢(shì)和斥力勢(shì)并存，并具有第二極小勢(shì)阱條件下的沉降系數(shù)，不但不會(huì)隨皮克列特?cái)?shù)之增加而增加，反而會(huì)降低。乍一看來，這和1982年巴切勒和我的硬球沉降理論有矛盾，前曾指出1982理論預(yù)測(cè)的是沉降系數(shù)隨皮克列特?cái)?shù)之增加而增加。重力對(duì)流有把 j粒子堆積到i粒子鄰域的傾向，因而會(huì)使沉降系數(shù)增加。為什么王浩的具勢(shì)粒子會(huì)有相反的結(jié)果呢，仔細(xì)地審查王浩計(jì)算數(shù)據(jù)就可發(fā)現(xiàn)，這完全是由于具勢(shì)粒子和不具勢(shì)力的硬球不同而形成。原來在王浩所計(jì)算的例子中，有勢(shì)力時(shí)，第二極小的作用十分強(qiáng)，它在低皮克列特?cái)?shù)條件下，不僅使沉降系數(shù)大于低皮克列特?cái)?shù)下硬球沉降系數(shù)，而且也大于高皮克列特?cái)?shù)下硬球沉降系數(shù)。在這種條件下，當(dāng)皮克列特?cái)?shù)增加時(shí)，另一個(gè)相似參數(shù)Qij數(shù)由于它和皮克列特?cái)?shù)成正比關(guān)系就也會(huì)增加，Qij數(shù)是粒子的重力輸送項(xiàng)和粒子間勢(shì)力輸送項(xiàng)的比，Qij數(shù)的的增加，當(dāng)然意味著粒子間勢(shì)力相對(duì)地變小，第二級(jí)小勢(shì)阱深度變小，j粒子被吸引到第二極小勢(shì)阱中來的數(shù)目變小，直接的局地的流體動(dòng)力相互作用就會(huì)減弱，i粒子的沉降系數(shù)當(dāng)然會(huì)變小。直到皮克列特?cái)?shù)趨于無窮時(shí)，Qij數(shù)也必然會(huì)趨于無窮，這意味著粒子間勢(shì)力趨于0，第二極小勢(shì)阱消失,勢(shì)力作用已不復(fù)存在剩下的是純重力的堆積效應(yīng)引起的沉降系數(shù)，即硬球在高皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)。它是在具勢(shì)條件下高皮克列特?cái)?shù)沉降系數(shù)的極限值，它雖然比具勢(shì)粒子低皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)為低，但仍比硬球在低皮克列特?cái)?shù)下的沉降系數(shù)為高。于是在具勢(shì)的和不具勢(shì)的條件下，沉降系數(shù)隨皮克列特?cái)?shù)相反的變化趨勢(shì)就可以理解了。這種現(xiàn)象，完全是由于粒子間相互作用勢(shì)引起的。王浩的計(jì)算把問題的復(fù)雜性揭示出來，是可喜的收獲。

　　4．4 小結(jié)

　　自從1972年巴切勒第一次單分散沉降的突破，后來又經(jīng)過1982年巴切勒和我多分散沉降的第二次突破，之后又有了一系列的后續(xù)工作，到現(xiàn)在我們對(duì)多粒子相互作用下的沉降，已經(jīng)有了一個(gè)相當(dāng)完整的理解，這里有必要對(duì)這一十分復(fù)雜的現(xiàn)象，做一個(gè)簡(jiǎn)要的小結(jié)。

　　多粒子間相互作用首先是流體動(dòng)力相互作用，這個(gè)作用又可分為兩個(gè)方面。

　　1．總體的流體動(dòng)力相互作用

　�。�1）負(fù)效應(yīng)，（當(dāng)g³0 時(shí)， i，j粒子均為重粒子 ，或均為輕粒子）

　�。�2）正效應(yīng)，（當(dāng)g<0時(shí)， i，j粒子一個(gè)是重粒子，一個(gè)是輕粒子）

　　2．局地的直接的流體動(dòng)力相互作用

　　（1）正效應(yīng)， （g>0時(shí)），

　　（2）負(fù)效應(yīng)， （g£0時(shí)），

　　（3）隨重力增強(qiáng)而增強(qiáng)。

　�。�4）隨布朗運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)而降低，

　�。�5）隨范德瓦爾斯分子引力勢(shì)增強(qiáng)而增強(qiáng)

　�。ㄗⅲ�
此時(shí)引力勢(shì)效應(yīng)又隨重力增強(qiáng)而降低，隨布朗運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)而增強(qiáng)）

　　（6）隨薄雙電荷層庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)增強(qiáng)而降低。(點(diǎn)擊此處閱讀下一頁(yè))

　�。ㄗⅲ捍藭r(shí)斥力勢(shì)效應(yīng)又隨重力增強(qiáng)而增強(qiáng)，隨布朗運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)而降低）

　　以上就是多粒子各種相互作用對(duì)粒子沉降產(chǎn)生的效應(yīng)的一個(gè)簡(jiǎn)短總結(jié)。對(duì)比一百多年前斯托克斯的孤粒子沉降理論，現(xiàn)在人們對(duì)多粒子沉降的理解已是大踏步地向前推進(jìn)了。

　　4．5 任重而道遠(yuǎn)

　　上面的總結(jié)展示出理論工作已取的成功。但有待解決的問題仍然不少，形勢(shì)甚至更加嚴(yán)峻，任重而道遠(yuǎn)。

　　首先，上述成功都是在稀釋懸浮體的框架下取得。至于更多的非稀釋懸浮體，以至稠密懸浮體，嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論目前還束手無策。在一這方面，實(shí)驗(yàn)工作者則遠(yuǎn)遠(yuǎn)地走在前面。早在1954年實(shí)驗(yàn)工作者理查森（Richardson） 和扎基（Zaki） 就根據(jù)他們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出了，粒子體積濃度j從0到1時(shí)，單分散粒子以斯托克斯孤粒子沉降速度歸一化的平均沉降速度之經(jīng)驗(yàn)規(guī)律。這是一個(gè)簡(jiǎn)潔的（1－j）的二項(xiàng)式，它的指數(shù)是－n。對(duì)此，嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論還無能為力，它在稀釋條件下所得到的阻滯沉降公式只能適用于粒子體積濃度很小的范圍。即j<0.02的區(qū)間。出了這個(gè)區(qū)間，隨著粒子體積濃度j的繼續(xù)增大，三粒子的相互作用，四粒子的相互作用，乃至任意N個(gè)粒子之間的相互作用（N>>2），就相繼產(chǎn)生重要影響。而三體問題，在一般物理學(xué)之中還是一個(gè)尚待解決的難題。趙凱華和羅蔚茵教授在他們的《新概念物理教程》中的《力學(xué)》卷，對(duì)此曾有過生動(dòng)的說明。何況在懸浮粒子的三體問題之間，還存在著黏性流體介質(zhì)，還要解決三球的流體力學(xué)問題，因此更是難上加難。即使僥幸解決了，后面還有四體問題，乃至任意N體（N>>2）問題跟著�？磥磉@條道路無法走通。目前人們都是在用模型的方法，或數(shù)值模擬的方法來探討這難題。雖然到現(xiàn)在為止還沒有得到令人滿意的結(jié)果，在我們看來，在模型方法中，有一種把多體相互作用近似為若干個(gè)兩體相互作用之和，這種模型可能最有希望。因?yàn)橛锰├占?jí)數(shù)展開理查森和 扎基的二項(xiàng)式經(jīng)驗(yàn)公式后，馬上就可得知，此二項(xiàng)式的指數(shù)n，就是在稀釋兩體條件下得到的沉降系數(shù)Sij。

也就是說，兩體的粒子對(duì)相互作用所導(dǎo)出的Sij 它可以通過這個(gè)二項(xiàng)式經(jīng)驗(yàn)公式控制著任意N個(gè)（N>>2）粒子間的相互作用所產(chǎn)生的影響,好像粒子對(duì)的相互作用是任意多體相互作用的一個(gè)基本元素,是它的一個(gè)“細(xì)胞”。因此，沿著這個(gè)思路走下去的工作，有理由會(huì)取得成功。

　　統(tǒng)計(jì)理論目前遇到的第二個(gè)挑戰(zhàn)是阻滯沉降量和j的1/3次方成正比問題。本章第二節(jié)中曾講到,除了用統(tǒng)計(jì)理論探討多粒子相互作用的沉降外,還有晶格法和殼層法兩種方法。而且所得結(jié)果與統(tǒng)計(jì)理論不同,阻滯沉降量不是和j的1次方成正比,而是成1/3次方正比。兩者規(guī)律不同。自從巴切勒 1972與1982 巴切勒和我 的工作使統(tǒng)計(jì)理論獲得了成功以后,講1/3次方正比的工作越來越少。盡管如此，它并沒有消失。這個(gè)問題目前已有了新進(jìn)展，它正是由實(shí)驗(yàn)工作者做出的。1995年一個(gè)由塞斯-韋德希斯（Thies- Weedsis）,菲利謝（Philise）,納杰勒（Nagele）和克萊因（Klein） 等5人組成的研究集體，在美國(guó)的《膠體與界面科學(xué)雜志》上發(fā)表了一篇論文。他們的實(shí)驗(yàn)再次證實(shí)了1/3方正比的存在，而且該實(shí)驗(yàn)表明了出現(xiàn)1/3次方正比的條件,即：
當(dāng)懸浮粒子的庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)不是薄雙電荷層的而是非常厚的雙電荷層，使粒子間相互作用斥力勢(shì)變成是一種非常長(zhǎng)的長(zhǎng)程力，這時(shí)就會(huì)出現(xiàn)1/3次方正比的阻滯沉降量。人們對(duì)此的解釋是，當(dāng)粒子間出現(xiàn)非常長(zhǎng)的長(zhǎng)程斥力時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)中所有粒子間的距離會(huì)取最大值而大體相同。亦即會(huì)取平均距離的量值。在稀釋條件下，粒子的體積濃度j<<1。因此，粒子間平均距離就遠(yuǎn)大于粒子半徑。要大家的距離都取這種十分長(zhǎng)的平均距離，只有粒子間相互排斥力是一種非常長(zhǎng)的長(zhǎng)程力才能辦到。化學(xué)家知道如何才能控制荷電粒子的雙電荷層厚度，那就是減少溶液中的鹽分，降低溶液中正負(fù)離子的濃度，就會(huì)使雙電荷層厚度增加，一直到把溶液完全去離子化，則庫(kù)侖靜電斥力勢(shì)就會(huì)成為一種非常長(zhǎng)的長(zhǎng)程力，1/3次方正比的阻滯沉降量就會(huì)出現(xiàn)。如果反轉(zhuǎn)這個(gè)過程,從完全去離子化開始,逐漸往溶液中加鹽,一直到薄雙電荷層出現(xiàn),則可以看到相反的變化。阻滯沉降量從體積濃度j的1/3次方正比,一直變回到1次方正比。,阻滯沉降量現(xiàn)在就不是只有1/3次方和1次方兩種變化規(guī)律,而是可以有從大于1/3,到小于1的所有可能的分?jǐn)?shù)冪次的規(guī)律,也就是說有無窮多個(gè)阻滯沉降量隨粒子體積濃度j的變化規(guī)律。顯然,這對(duì)統(tǒng)計(jì)理論是又一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，距離解決問題還有一段長(zhǎng)路要走。

　　迄今為止，一切理論的或?qū)嶒?yàn)的研究懸浮粒子沉降工作，對(duì)象都是穩(wěn)定懸浮體，其中不存在粒子的碰并過程。而實(shí)際上除了穩(wěn)定懸浮體以外，還存在著大量的不穩(wěn)定懸浮體，在其中存在著粒子的碰并過程。隨著這種過程的發(fā)展粒子的平均大小就會(huì)越來越大，平均沉降速度就會(huì)越來越大，這是一個(gè)加速沉降過程，粒子會(huì)從不穩(wěn)定懸浮體中迅速分離出來。穩(wěn)定懸浮體中粒子的平均沉降速度十分小。例如1微米大小的粒子在水中懸浮時(shí)的沉降速度數(shù)量級(jí)只有1微米/秒。

因此會(huì)長(zhǎng)時(shí)間懸浮于其中而不會(huì)沉降分離出來，要想使之加速沉降分離出來，用化學(xué)家的辦法，就是前面一段話中講的逐步加鹽的例子。繼續(xù)加鹽，直到雙電荷層徹底崩潰，使主極小 分子引力深勢(shì)阱暴露出來，則系統(tǒng)就從穩(wěn)定轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定系統(tǒng)，碰并過程開始產(chǎn)生，穩(wěn)定沉降速度就會(huì)變?yōu)椴环�(wěn)定的加速沉降。人們就可以達(dá)到迅速分離粒子的目的。在自然界也有類似的例子。從事泥沙研究工作的朋友們知道懸浮在淡水河里的細(xì)泥沙 ，由于有雙電荷層斥力勢(shì)保護(hù)，會(huì)長(zhǎng)時(shí)間懸浮在談水河中，一直到入海口，在那里含鹽量十分大的咸海水會(huì)使泥沙粒子的雙電荷層崩潰瓦解。因而會(huì)使之變?yōu)椴环�(wěn)定的懸浮系統(tǒng)，細(xì)泥沙就會(huì)大量地在入�？谔幊恋碛俜e出來。所以研究這種不穩(wěn)定懸浮體系粒子加速沉降過程，在某種意義上較之現(xiàn)有的研究穩(wěn)定懸浮體系中穩(wěn)定沉降過程更為重要。但這無論對(duì)理論工作還是實(shí)驗(yàn)工作都是一個(gè)更加嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

　　乍一看來，這問題不應(yīng)太難，前面第二章和第三章中，好像已解決了問題的一半，在那兩章中我們已求出了不穩(wěn)定系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)，找到了在不穩(wěn)定稀釋系統(tǒng)中，統(tǒng)計(jì)對(duì)分布的各種解。那么，在求取平均加速沉降積分中的概率加權(quán)函數(shù)就成已知。但問題不在這里，問題在于被加權(quán)的物理量，它不再是穩(wěn)定系統(tǒng)中，在粒子對(duì)相互作用下，參考粒子的穩(wěn)定沉降速度，而這就對(duì)低雷諾數(shù)流體力學(xué)提出了一個(gè)挑戰(zhàn)。因?yàn)閺?851年斯托克斯的工作開始，一直到1984年杰弗瑞和大西善元的工作，都解的是粒子在以穩(wěn)定不變的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受到的來自流體介質(zhì)的阻力�，F(xiàn)在， 在不穩(wěn)定系統(tǒng)中，參考粒子的沉降速度不再是穩(wěn)定不變，它會(huì)因碰并而使半徑不斷增大，沉降速度不斷加快，所以就要求流體力學(xué)解決粒子在以一個(gè)不斷改變的加速運(yùn)動(dòng)中，所受到的阻力問題，所以整個(gè)低雷諾數(shù)流體力學(xué)都應(yīng)重新來過，從孤粒子加速運(yùn)動(dòng)開始，一直到兩個(gè)粒子的加速運(yùn)動(dòng)，任務(wù)之艱巨可以想見。

　　寫到這里，想對(duì)年輕的朋友們?cè)僦v幾句。正如我們前面在第一章中講過的那樣，現(xiàn)有的理論不管它已取得多么輝煌的成就，相對(duì)于未知世界而言，它仍然很渺小，未知世界相對(duì)于我們?nèi)祟惉F(xiàn)有的知識(shí)永遠(yuǎn)是無邊無際的海洋。有志于科學(xué)研究的年輕朋友們，你們必定會(huì)英雄大有用武之地。做為一個(gè)過來人，衷心地期待著你們?cè)谡J(rèn)識(shí)未知世界，理解未知世界的征程中，取得更加輝煌的業(yè)績(jī)。

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