摘　要　數(shù)量認知研究近年有長足發(fā)展。文章從新近提出的獨立于語言的兩個數(shù)量表征核心系統(tǒng)，語言與精確數(shù)量運算，語言與算術(shù)事實的儲存，語言對兒童早期數(shù)概念發(fā)展的影響，語言與數(shù)量認知關(guān)系的最新腦科學證據(jù)，以及語言在數(shù)量認知模型中的角色等方面，介紹和評述了人類存在依賴和不依賴語言的兩級數(shù)量能力的新認識。對于是否還存在其它不依賴語言的理解數(shù)量的系統(tǒng)，以及這些非語言數(shù)量表征系統(tǒng)的認知機制，文章認為有待進一步研究。
　　關(guān)鍵詞　語言，數(shù)量認知，數(shù)量表征，腦機制，兒童。
　　分類號B842
　　
　　數(shù)量認知（Numerical cognition）是心理學研究人類數(shù)學能力的焦點與核心部分之一。人的數(shù)量能力（Numerical ability）的最初來源是什么？這里一度存在兩種相反的觀點，其一認為由語言決定，其二認為是獨立于語言的專門能力。喬姆斯基（Chomsky）認為，人類的數(shù)學思維本質(zhì)上是從人類語言中抽象來的；沃夫（Whorf ）還提出了思維性質(zhì)和內(nèi)容由語言決定（Linguistic determinism）的強勢假設(shè)。與此相反，Gelman和Gallistal等人提出，人類對數(shù)的認識是與語言相互獨立的。近年來在傳統(tǒng)認知心理學研究的基礎(chǔ)上，從跨文化比較、神經(jīng)心理學個案、動物心理學、腦成像等方面積累了大量的新發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生了新認識。目前為止的許多研究發(fā)現(xiàn)，人具有與其它動物共享的生物學意義的初始數(shù)量能力，在這個基礎(chǔ)上通過使用符號化語言，人類發(fā)展出獨特的高超于其它物種的數(shù)量能力。以下對近期這方面的研究進展作一個回顧和述評。
　　
　　1 獨立于語言的數(shù)量能力
　　
　　大量的嬰兒、腦損傷病人及動物的數(shù)量能力研究提供證據(jù)，認為人與其它動物共享一些基本的非詞語的（Nonverbal）數(shù)量能力，即不僅能區(qū)分物體的物理屬性，如大小、長度、時間、顏色、移動、聲音，還能按物體的某種屬性作個體分離，對個體的多少作出反應。這種最基本的數(shù)量能力具有進化來的生物學特征，是物種生存所需要的。比如，猴子觀看一片一片放進不透明盒子里的蘋果片后，能選擇較多蘋果片的盒子[1]。獅子通過吼聲判斷來犯獅群的多寡，敵眾我寡，采取躲避行動；敵寡我眾，便采取反擊行動[2]。Geary稱這種非詞語數(shù)量能力為生物學意義的初始數(shù)學能力（Biologically primary mathematical abilities）[3]。它反映的是神經(jīng)認知系統(tǒng)（Neurocognitive system）具有的內(nèi)隱屬性。這一認識成為數(shù)量能力研究的新基點。Feigenson，Dehaene等人以最近幾年的一批研究發(fā)現(xiàn)為依據(jù)，提出生物初始數(shù)學能力包含兩個數(shù)量表征（Numerical representation）的核心系統(tǒng)――大數(shù)量的近似表征系統(tǒng)和小數(shù)量個數(shù)的精確表征系統(tǒng)[4]，即雙系統(tǒng)假設(shè)。
　　
　　1.1 大數(shù)量的近似表征
　　第一個數(shù)量表征核心系統(tǒng)是大數(shù)量的近似表征（Approximate representations），在無須語言參與的條件下，它對較大數(shù)量的集合加以區(qū)分和近似比較大小。根據(jù)研究結(jié)果，人類這個數(shù)量系統(tǒng)的發(fā)展顯示出一定的年齡差異。
　　遵循韋伯律（Weber’s Law）區(qū)分數(shù)量的現(xiàn)象曾在很多種類的動物身上發(fā)現(xiàn)，如鴿子，鼠，鸚鵡，猴子，海豚等。鴿子準確區(qū)分啄食次數(shù)35次與50次的比率可達90%，區(qū)分45次與50次達到70%準確[5]。最近，Nieder等人專門測量數(shù)量辨認時的最小可覺差（Just noticeable difference），發(fā)現(xiàn)未經(jīng)訓練的短尾猴對較大數(shù)量的辨認遵循韋伯律[6]。
　　近來，一些嚴格控制實驗條件的研究證實，人類嬰兒能夠?qū)ξ矬w的個數(shù)遵循韋伯律作近似區(qū)分。在6個月嬰兒的去習慣化實驗中，對視覺呈現(xiàn)的兩個黑點集合分別控制了總面積、輪廓線長等連續(xù)量的因素后，F(xiàn)ei Xu等人[7]發(fā)現(xiàn)，嬰兒可以區(qū)分4和8，即能從總量上區(qū)別4個黑點和8個黑點的兩個集合（并非分別認出個數(shù)4和8），也能區(qū)別8和16[8]，以及16和32[9]。這些點集的點數(shù)比例都是1:2，而且單個點集的個數(shù)大于等于4。兩個點集若小于這個比例，如8和12，或者其中某個點集的個數(shù)太少，如2和4，6個月的嬰兒就不能區(qū)分[7]。隨著年齡增大，可區(qū)分的個數(shù)的比例可以更接近，比如9個月大的嬰兒可以區(qū)分個數(shù)大于4的比例為2:3的兩個集合的差異[4]。到成人，這種無須語言的對大數(shù)量作近似估計的能力主要用在不經(jīng)過數(shù)數(shù)而想得知數(shù)量的時候[4]。對呈現(xiàn)（或播放）的兩個點集（或聲音序列），成人可以不需數(shù)數(shù)而進行數(shù)量比較，可分辯的數(shù)量比例可以達到7:8，例如14比16[10]。
　　缺乏數(shù)詞幫助，成人也能夠采用近似表征進行大數(shù)量的區(qū)分。Pica考察了巴西的亞馬遜河流域原始部落，發(fā)現(xiàn)Munduruku人只有表示1至5的數(shù)詞和“一些”，“很多”，“很少”的模糊量描述。當要求指出20和80兩個點集哪個較大時，他們的正確反應率達70%[11]。這說明近似表征系統(tǒng)不依賴語言文化。
　　區(qū)分數(shù)量的能力不依賴于特定感覺通道（視覺或聽覺等）。Lipton等人發(fā)現(xiàn)6個月嬰兒能夠區(qū)分8響和16響兩個聲音序列，但不能區(qū)分8響和12響兩個差別較小的聲音序列；而9個月嬰兒兩者都能區(qū)分[12]。Wood等人發(fā)現(xiàn)6個月的嬰兒能夠區(qū)分木偶跳躍次數(shù)4次和8次的區(qū)別，但不能區(qū)分2次和4次、4次和6次；到9個月才能區(qū)分4次和6次[13]。
　　近似表征系統(tǒng)是如何工作的？Barth等人給成人快速呈現(xiàn)（或播放）兩個點集（或聲音序列），發(fā)現(xiàn)反應時與個數(shù)增長無關(guān)，而與相比較的兩個量的比例有關(guān)，數(shù)量越接近，反應時越長。例如，區(qū)分14個和16個（7:8）要比區(qū)分24個和32個（3:4）反應慢。Barth由此推測，這個數(shù)量加工的方式是并行的[10]，即同時對所有外在個體進行加工，獲得一個總估計量，用一個內(nèi)在表征符號對應這個總估計量（而不是對目標逐個先后加工，不是序列方式）。有的研究把該并行加工模式稱為類比模型（Analog model）[14]。
　　
　　1.2 小數(shù)量個數(shù)的精確表征
　　第二個核心系統(tǒng)是小數(shù)量個數(shù)的精確表征（Precise representations），它在小數(shù)量范圍內(nèi)（3及3以內(nèi)）逐個區(qū)分個體并對個數(shù)作出反應，也無須涉及語言。
　　Hauser以半自由生活狀態(tài)的猴子為被試，在未經(jīng)訓練的條件下，讓猴子觀察實驗員把數(shù)目不等的蘋果片分別逐個放進兩個不透明的容器里。它們能選擇對比組1和2，2和3，3和4，3和5中的較多者；但對4和5，4和6，4和8以及3和8等對比組，其選擇是隨機的[1]。猴子在這種條件下對數(shù)量的辨認是逐個進行的，因為它們看完一個實驗員逐片放入蘋果后再看另一個實驗員做同樣的動作，并沒有看到容器中蘋果片的總數(shù)。比較的兩個量超過4，猴子就沒有精確辨認的表現(xiàn)。關(guān)于動物精確數(shù)量能力的其它報告可見Dehaene的綜述[5]。近期的一個重大進展是，Nieder等人在經(jīng)過訓練的短尾猴作1至5個分離點的辨認時，從它們的前額葉邊側(cè)皮層直接探測到對數(shù)量1至5專門反應的神經(jīng)元，這些神經(jīng)元被稱為“數(shù)字神經(jīng)元”（Number neuron）[15]。這是首次揭示了數(shù)量精確表征的神經(jīng)元基礎(chǔ)，類似的神經(jīng)元也由Sawamura等人在猴子的頂葉找到[16]。
　　未受語言影響的新生兒會如何對數(shù)量反應呢？Antell和她的同事早在1983年用去習慣法研究了40個新生兒（出生1~6天）對2至6個排列整齊的小黑點的數(shù)量反應。在建立習慣階段，他們突出了數(shù)量特征（即黑點個數(shù)），控制了其它變量（如黑點排列的疏密和范圍），使新生兒習慣的是黑點的數(shù)量。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對2習慣化的新生兒能對3產(chǎn)生顯著的去習慣反應（即注視時間增加），對3習慣化的新生兒能對2產(chǎn)生顯著的去習慣反應；對4和6或6和4的比較則沒有顯著的差異反應[17]。
　　Wynn用背離期望法（Violation of expectation）讓5個月嬰兒看見一個玩具被遮擋后再添加一個玩具的過程，發(fā)現(xiàn)5個月嬰兒對最后拿開遮擋時只出現(xiàn)一個玩具的背離期望結(jié)果（1＋1＝“1”）會增加注視時間。類似地，對兩個玩具被拿開一個后仍出現(xiàn)兩個玩具的背離期望結(jié)果（2－1＝“2”）同樣會增加注視時間。Wynn由此判斷嬰兒有個數(shù)增加一和減少一的識別[18]。Feigenson用選擇餅干實驗研究10~12個月大的嬰兒，在嬰兒注視下把大小相同的餅干分別逐個放進兩個不透明罐子里，讓嬰兒進行選擇。當數(shù)量分別是1和2，或者2和3時，嬰兒會選擇（爬向并取出）數(shù)量較多的罐子，選擇頻率達80%[14]。當用搜尋實驗法向14個月大的嬰兒顯示1~3個物體，然后放進一個掩蓋的容器里時，嬰兒能根據(jù)顯示的個數(shù)取出同樣數(shù)量的物體[19]。
　　這種區(qū)分小數(shù)量個體的能力并不限于對視覺空間刺激物。嬰兒對多感覺通道、對運動節(jié)奏的刺激也能作類似的反應[20、21]。例如，6個月大的嬰兒可以區(qū)分木偶跳2次和3次。
　　嬰兒這種無詞語支持的精確數(shù)量能力在成人的一些特別的群體里也曾被發(fā)現(xiàn)。在非洲尼日利亞，從缺乏教育的Kpelle部落人身上觀察到對個數(shù)3的分辯能力，其準確率和反應時與美國受過教育的人沒有太大差異；但是對個數(shù)超過3的分辯能力則有顯著差異[25]。最近，Gordon對巴西亞馬遜河流域的原始部落Piraha人作了較為嚴格的考察和實驗，發(fā)現(xiàn)在缺乏數(shù)字語言的部落環(huán)境中，他們能精確辨認的數(shù)量也是在3以內(nèi)[26]。
　　精確表征系統(tǒng)與近似表征系統(tǒng)的工作機理是不同的。在視覺加工的前注意階段，人能夠同時對4個以內(nèi)的客體進行分離，形成標記，這些標記在后繼加工階段能夠被逐個跟蹤[22]。有些研究報告將一個標記稱為一個“客體檔案”（Object file）。嬰兒在背離期望法實驗中能夠準確跟蹤幾個客體的數(shù)量，因此可以用客體檔案跟蹤模型來描述其加工機理[14、19]。可見，精確表征系統(tǒng)的加工方式是基于并行（獲得分離標記）并兼有序列（跟蹤客體），與前面提到的近似表征系統(tǒng)以并行方式加工有所區(qū)別。
　　根據(jù)上述機理，被跟蹤的標記儲存在短時記憶中，而短時記憶的儲存限度是3至4個客體[23、24]，所以能同時維持的標記只有3至4個，嬰兒的精確表征限度也就不會超過3個。一些研究結(jié)果，如嬰兒在背離期望實驗中的表現(xiàn)符合這一解釋。再如，前述Feigenson研究的10~14個月大的嬰兒能辨認3以內(nèi)的數(shù)量，但當數(shù)量超過3，比如4時，嬰兒的辨認具有隨機性，正確選擇不超過50%；又如，14個月大的嬰兒目睹4個物件被放進掩蓋的容器里，卻只會取出一個就停止尋找其它物件[14、4]。這是因為當嬰兒注意最后一個（例如第四個）物件時，前面的記憶就被覆蓋和遺忘了。
　　綜上所述，人類與許多動物共同享有的初始數(shù)學能力包含一個對大數(shù)量的近似表征系統(tǒng)和一個對小數(shù)量個數(shù)的精確表征系統(tǒng)。近似表征系統(tǒng)按韋伯律分辯數(shù)量大小，其加工過程按并行類比的方式在個數(shù)4以上工作。隨著成熟，人的最小可覺差的韋伯常數(shù)（增量與原量之比）趨于更小。精確表征系統(tǒng)能夠分離目標中4個以內(nèi)的個體并對目標的個數(shù)作出反應，對增加一個、減少一個、累加幾個個體（4以內(nèi)）進行序列加工并給出精確判斷。
　　
　　2 語言對整合與發(fā)展人類數(shù)量能力的作用
　　
　　非詞語的數(shù)量能力的上述新認識，給長期爭論的語言與數(shù)量認知關(guān)系提供了一個部分回答。然而，語言與大數(shù)量的精確表征的關(guān)系是怎樣的？
　　人類需要進行任何數(shù)量的精確計算，為此使用了數(shù)詞、字符（如阿拉伯數(shù)字）、運算符號（如加減號、分數(shù)線、根號）等組成的符號化系統(tǒng)，它們大都是可說明（有語義）、可讀寫（有語音有書寫有句法）、可回憶（外顯性）的，能對數(shù)量思維作明確判斷、表達和交流，其中的符號化系統(tǒng)也具備了語言的基本要素。對精確數(shù)概念、運算與語言的關(guān)系有沒有新的研究發(fā)現(xiàn)和新的認識呢？
　　
　　2.1 精確的數(shù)概念和四則運算與語言密切相關(guān)
　　Geary認為，人類通過語言和文化可以整合多種生物初始數(shù)學能力，進一步發(fā)展出生物次級數(shù)學能力（Biologically secondary mathematical abilities）。生物次級數(shù)學能力是社會文化對內(nèi)隱的初始數(shù)學能力的意識（Awareness），和對這種內(nèi)隱能力的外顯形式化（Explicit formalization）。它通常表達為數(shù)學概念和計算方法等數(shù)學知識，需要傳授學習才能獲得，因而不是每個社會文化都發(fā)展出相同的數(shù)學思維。所以，生物次級數(shù)學能力與語言和文化有關(guān)[3]。
　　較大數(shù)量的精確辨認和計算能力是否可以脫離語言而存在呢？Gordon對巴西亞馬遜河流域一個目前所知最原始的部落Piraha的觀察研究顯示[26]，Piraha人只有有限幾個詞用來表示“一”、“二”和“許多”。在簡單的一一對應任務(wù)中，要求他們根據(jù)目標物體（如小棍子、核桃）的個數(shù)擺上相應個數(shù)的電池。在個數(shù)三以內(nèi)，他們可以達到75%以上的準確率，大于三時準確率迅速下降，超過八九個物體時任務(wù)無法完成。在需要數(shù)量表征的比較任務(wù)中，向被試顯示一個罐子A，放進糖果，然后移開。拿出另兩個罐子，其中一個罐子糖果的數(shù)目與A相同，另一個數(shù)目比A多一或少一。要求被試選出與A有相同數(shù)目糖果的罐子。對于個數(shù)1與2，他們的選擇準確率達到75%以上；個數(shù)2與3則不到75%，個數(shù)3與4不到50%，說明Piraha人能準確分辯的數(shù)量范圍不超過三，與數(shù)量語言的缺乏密切相關(guān)。
　　前述Munduruku部落人雖然有數(shù)詞表示1至5，但這五個詞并不穩(wěn)定對應個數(shù)1至5。他們并不常用這些詞來數(shù)數(shù)和表示精確量。要求數(shù)一個集合中的點，他們很少使用這些數(shù)詞，而是用手指和腳趾的個數(shù)去表示被數(shù)的點。用他們語言的“一”來表示數(shù)量1的使用率不到100%，“三”表示數(shù)量3不到80%，“五”表示5不到30%。對一個大于4的數(shù)量n，他們不能準確地分辯n與n+1。Pica認為，有限的五個詞還不足以使Munduruku部落人產(chǎn)生精確數(shù)量的心理表征[11]。這兩個部落考察都說明，較大數(shù)量的精確辨認和計算能力不能脫離語言而存在。
　　Dehaene[27]和Spelke等人[28]發(fā)現(xiàn)母語與非母語對精確計算與近似估計的影響不同。他們讓母語為俄語且熟練掌握英語的雙語大學生做被試，以俄、英兩種語言分別進行精確計算或近似估計的訓練，然后以相同或不同于訓練的語言對同類問題進行測試。測試題包括兩位數(shù)加法、乘法、開方、非十進位制加法等，要求指出準確答案（精確計算）或指出較接近的答案（近似估計）。結(jié)果顯示，當進行精確計算，且測試使用的語言與訓練使用的語言一致時，其反應快于測試與訓練語言不一致的反應。而估計近似值時，測試的反應時與訓練語言無關(guān)。研究者由此推測，在學習期間獲得的算術(shù)事實（Arithmetic facts）是以學習所用的語言儲存的，當使用另一種語言進行精確計算時，需要語言轉(zhuǎn)換，因而反應時延長。做近似估計使用的是內(nèi)在表象對總量的類比，可以是非詞語的，不需語言轉(zhuǎn)換，因此反應時與訓練語言無關(guān)。
　　
　　2.2 算術(shù)事實記憶的使用與語言密切關(guān)聯(lián)
　　有許多熟悉的算術(shù)運算過程和結(jié)果是以語言形式表達的，比如乘法九九表，儲存在頭腦里，形成詞語的說明性記憶，即算術(shù)事實的詞語記憶。近年來的研究表明，由于要提取記憶中的算術(shù)事實，因此算術(shù)運算會不同程度地以語言形式進行操作。
　　數(shù)字對分任務(wù)（找出兩個數(shù)的中間數(shù)）曾被認為只涉及量的比較，由非詞語的數(shù)量表征系統(tǒng)進行。Nuerk的研究卻發(fā)現(xiàn)[29]，詞語的算術(shù)事實如乘法表、奇偶數(shù)概念也影響數(shù)字對分任務(wù)的操作。所有實驗參加者（德國大學生）做可倍增的兩數(shù)的對分任務(wù)，比如指出6與18的中間數(shù)12（記為6_12_18），都比不可倍增的兩數(shù)的對分（如7_10_13）反應速度快。因此有理由認為，完成數(shù)字對分任務(wù)是由量的大小表征和詞語的表達雙向交互作用實現(xiàn)的，說明由語言形式儲存的算術(shù)事實參與到計算中去。
　　上一節(jié)介紹的Spelke等人對雙語大學生的研究[28]還發(fā)現(xiàn)，進行精確計算，凡訓練過的題都比未訓練過的題反應時短，而做近似估計題，訓練題與未訓練題反應時無差異。研究認為這是因為精確計算經(jīng)訓練后成為記憶，以語言形式儲存，可以直接提取，反應時因而縮短。近似題不論訓練過還是未訓練過都是進行量的估計比較，較少利用事實記憶，因而反應時無差異。
　　Lee和Kang報告了一項實驗，被試在進行算術(shù)運算的同時進行空間屬性判斷或者語言判斷。他們發(fā)現(xiàn)，空間屬性判斷只干擾減法運算而不影響乘法運算；語言判斷只干擾乘法運算而不影響減法運算[30]。這種相分離的任務(wù)干擾現(xiàn)象說明，乘法事實的記憶提取過程更多與語言判斷過程相一致。
　　
　　2.3 兒童算術(shù)能力發(fā)展過程中語言起顯著作用
　　Butterworth在算術(shù)能力發(fā)展的最新綜述報告中，概括了0至7歲兒童早期發(fā)展的若干個發(fā)展里程碑[31]：兒童從2歲開始學習數(shù)詞序列；3歲能數(shù)小的數(shù)；3.5歲左右能用實物和數(shù)詞進行簡單的加減運算，并能用基數(shù)原則建立數(shù)集；5.5歲能理解加法交換律，還能由大到小數(shù)數(shù)；7歲能從記憶中提取已掌握的算術(shù)事實。從Butterworth的總結(jié)可見，兒童算術(shù)能力的發(fā)展在兩三歲就借助了語言來學習數(shù)字序列，形成最初的數(shù)概念，然后借助語言來記憶和提取四則運算事實、擴大數(shù)的概念。Butterworth還特別指出，他總結(jié)的兒童早期算術(shù)能力發(fā)展里程碑是建立在歐美國家研究的基礎(chǔ)上的，而各種不同語言的數(shù)詞結(jié)構(gòu)可以加速或減慢算術(shù)概念的獲得。比如在中文語言環(huán)境下，兒童可以較早獲得一些算術(shù)概念[31]�？缯Z言的數(shù)學認知發(fā)展研究確實是探討語言與數(shù)學能力關(guān)系的重要途徑，相當一批跨文化研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，數(shù)詞的結(jié)構(gòu)及其語義、語音對兒童理解數(shù)的概念和進行計算有不可忽視的影響。
　　以中英文數(shù)詞的差異為例，對兩位阿拉伯數(shù)字的語言表達，中英文的數(shù)詞在結(jié)構(gòu)上有不同。中文表示十位上的數(shù)同樣用數(shù)詞1至9，表示十位的發(fā)音放在前（書寫在左），表示個位的發(fā)音放在后（書寫在右），這與阿拉伯數(shù)字的進位制和位值制表示完全一致。英文的數(shù)詞殘留了12進位的構(gòu)詞法，數(shù)詞11至19與十進位值制結(jié)構(gòu)不匹配。eleven（11）和twelve（12）與前十個數(shù)詞在結(jié)構(gòu)上相互獨立，與十（ten）和一（one），十和二（two）沒有構(gòu)詞關(guān)系。從13到19，英文把表示個位的發(fā)音放在前（書寫在左），把表示十位的發(fā)音放在后（書寫在右）。如“thir-teen”先說出三后說出十，與阿拉伯數(shù)字先讀十位后讀個位的順序正好相反，因而其數(shù)詞在語義上缺乏對十進位值制的明確表達。中英文數(shù)詞結(jié)構(gòu)這種差異對兒童數(shù)概念、數(shù)位和位值的理解和掌握能夠產(chǎn)生內(nèi)隱性學習差異。
　　Miller在比較中美兒童數(shù)數(shù)能力時發(fā)現(xiàn)[32]，掌握1至10的口頭數(shù)數(shù)和一一對應按物數(shù)數(shù)，中美學齡前兒童沒有差異。這是因為1至10的數(shù)詞無論中英文都是相互獨立的十個發(fā)音，都需要兒童一一記住。從兩位數(shù)開始，中國兒童對10至20的理解和掌握顯著好于和快于美國兒童。從美國兒童口頭數(shù)數(shù)常犯的錯誤是構(gòu)詞錯誤這一現(xiàn)象，可以看出他們把11、12看作和一位數(shù)一樣相互獨立的數(shù)，不容易從英語的構(gòu)詞上獲得對多位數(shù)的數(shù)位和位值的理解。如他們把28至32數(shù)作“28、29、20_10、20_11、20_12”（twenty-eight，twenty-nine，twenty-ten，twenty-eleven，twenty-twelve）。究其原因，英語11至19的數(shù)詞缺乏與阿拉伯數(shù)字匹配的十位_個位結(jié)構(gòu)，不利于兒童對構(gòu)數(shù)法的歸納和對數(shù)的理解。
　　Miura對美、法、瑞、日、韓的一年級兒童進行過語言與數(shù)概念關(guān)系的跨文化研究[33]。瑞典語和英語同屬日耳曼語系，數(shù)詞構(gòu)詞法基本相同。日、韓語的數(shù)詞從漢語引進，數(shù)詞的構(gòu)詞法與中文完全相同[34]。Miura的實驗用表示單位十的積木和表示單位一的積木表示數(shù)字“42”。能夠理解42是由四個單位十和兩個單位一組成的日、韓一年級兒童人數(shù)分別達到72.3%和96.7%，而美、瑞同齡兒童只有8.3%和11.3%，差異非常顯著。90.8%的美國被試和88.7%的瑞典被試把42理解為四十二個單位一。
　　Fuson研究韓國小學二三年級學生的算術(shù)水平[35]，發(fā)現(xiàn)94%的二年級學生能正確進行兩位數(shù)和三位數(shù)加法中的進位，94%和78%能正確進行兩位數(shù)和三位數(shù)減法中的借位，雖然當時他們還未學三位數(shù)加減法；三年級學生正確解決三位數(shù)加、減法更分別達到98%和93%。韓國小學生加減法計算的正確率如此之高，得益于他們對數(shù)位的正確理解。所有二年級被試都能正確認出兩位數(shù)的第二位是十位，如“52”的“5”表示五個10；所有三年級被試都能正確認識第三位是百位。相比之下，在美國“教育進步全國測評”中，50%的美國三年級學生不能正確使用三位數(shù)減法中的借位，超過50%不能正確認識百位數(shù)上的“1”表示100。不少二、三年級美國學生在減法借位時把十位上的單位“1”錯當作1。
　　語言還有一個語音要素可以對數(shù)學加工過程產(chǎn)生重要影響。數(shù)詞的語音長短可以影響數(shù)字記憶廣度，從而可以影響兒童的算術(shù)運算能力。根據(jù)Baddeley的工作記憶模型，一個人的語音儲存大約自動維持2秒左右，詞的發(fā)音時間越短，被保持和回憶的詞越多[36]。有研究測出[37]，漢語發(fā)音平均每個數(shù)詞需時406ms，英語需時527ms，兩者發(fā)音時間差異顯著。中國成人數(shù)字記憶廣度平均為9.2，美國為7.2，兩者也有顯著差異。Geary和劉范的合作研究顯示[38]：5~6歲中國兒童的記憶廣度是6.7，同齡美國兒童是4.1，中國兒童正確解答10以內(nèi)加法的人數(shù)大約是同齡美國兒童的3倍。還有研究指出，兒童計算策略的使用和他們的數(shù)字記憶廣度有一定的關(guān)系，記憶廣度越短，越有可能利用數(shù)手指來幫助計算[39]。
　　歐美兒童的數(shù)學成績在國際比較中長期落后于東亞兒童已是不爭的事實，許多研究將此歸結(jié)為學校教學時間和社會期望等因素，都忽略心理語言學因素。但是，上述發(fā)現(xiàn)指出的數(shù)學詞語表達對兒童數(shù)概念和算術(shù)學習的影響，由Fuson1997年進行的教學實驗研究結(jié)果得到進一步的肯定。在中文里，“五十”是五和十的復合詞，容易被理解和反應為五個10。但是在美國通常教學中，低年級兒童很容易把數(shù)詞“fifty-three”（“53”）與503等同，因為字面上fifty缺乏“五個十”的信息提示，容易被年幼兒童理解為整體50而不是分解為五個10。Fuson按東亞語言表達數(shù)位的方式在美國經(jīng)濟落后區(qū)域的小學（通常教學質(zhì)量較低）對一年級新生進行日常數(shù)學教學，包括使用“五個十和三個一（five tens and three ones）”的方式表達53（fifty-three）。一學年實驗結(jié)束時，88%參加實驗的學生能夠在前述Miura（1993）的積木實驗中使用正確方法回答，接近東亞兒童的平均水平，在其它項目上給出正確回答的人數(shù)也兩倍高出接受美國通常教學方法的同年級學生，并且與六年級的正確人數(shù)略同[40]。這一結(jié)果不能用學校教學時間和社會期望等因素解釋，證實了數(shù)詞的語言表達確實影響兒童早期能否更快更好地掌握數(shù)概念。
　　
　　2.4 數(shù)量能力具有文化和語言的獨特性
　　人類社群的數(shù)學語言和數(shù)學思維的發(fā)展是互為因果的。Geary認為不是每個文化都發(fā)展出相同的數(shù)學語言和相同的數(shù)學思維[3]。中國商殷時代（公元前1400年）就獨立發(fā)展出十進制和位值制，用類似現(xiàn)今阿拉伯數(shù)字的記法來表示數(shù)，有記錄千、萬的數(shù)字。到春秋末期，創(chuàng)造了一種簡便的計算工具――算籌[41]。最早發(fā)現(xiàn)的阿拉伯數(shù)字符號（不包括零，也沒有數(shù)位表示）出現(xiàn)在公元前250年印度的石刻上。最早使用現(xiàn)代阿拉伯數(shù)字記法出現(xiàn)在公元825年波斯大數(shù)學家Khowarizmi的著作里[34]。然而世界一些與世隔絕的原始部落至今仍用身體的部位來表示數(shù)，停留在前語言的具體數(shù)量階段。雖然現(xiàn)代社會由于頻繁的交往使得數(shù)量的概念和知識能夠被全世界共享，但是，許多痕跡仍然可以說明數(shù)量能力具有文化和語言的獨特性。
　　習俗時間的語言表示和心理表征各國都不一樣。中文無論陰歷還是陽歷都以數(shù)字來排序，即使對外來的星期記法，也用數(shù)字排列（星期天除外）。這或許反應了中國文化對數(shù)字的敏銳和偏愛。英文與中文不同，用羅馬諸神和羅馬大帝的名字來命名十二個月，用星體的名字命名一周七日。這種文化和語言的不同帶來習俗時間表征的不同，中國人頭腦中的習俗時間表征是基數(shù)數(shù)列，而英美人是名稱排列。兩者計算習俗時間的方法就會不同。Kelly進行了一項實驗[42]，要中美兒童和成人回答“星期一的三天之后是哪天？”，“七月之前的五個月是那個月？”這類問題。美國兒童和成人最通常采用的方法是列數(shù)周日或月份的名稱來求得答案，即使是美國大學生也有90%以上采用此法。中國被試最通常采用計算法，即使二年級學生也有81%用計算法解決月份問題，63%用計算法解決周日問題。中國被試解決此類問題的速度大大超過同齡美國被試，中國四年級學生解決月份問題的速度甚至已略快于美國成年人。
　　數(shù)量能力的語言文化獨特性說明了人類的數(shù)量能力是在文明的創(chuàng)造與發(fā)明中積累起來的，因此個體的生物次級數(shù)學能力與語言的運用和發(fā)展息息相關(guān)。
　　
　　3 語言與數(shù)量認知密切關(guān)聯(lián)的腦神經(jīng)證據(jù)
　　
　　Dehaene等人在功能磁共振腦成像（fMRI）和事件相關(guān)電位（ERP）的實驗發(fā)現(xiàn)，簡單算術(shù)會激活兩個不同的腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：近似量的判斷更多地激活負責空間表象的大腦雙側(cè)頂內(nèi)溝（Intraparietal Sulcus）及其周邊腦區(qū)，精確量的判斷則更多激活負責言語的左側(cè)額下回（Left inferior frontal gyrus）等詞語加工區(qū)[27]。這些發(fā)現(xiàn)為精確數(shù)量加工與語言使用的密切關(guān)聯(lián)提供了腦神經(jīng)證據(jù)。
　　對于精確數(shù)量與近似數(shù)量加工的大腦基礎(chǔ)，Lemer等人考察了計算不能（Acalculia）病人BRI和LEC[43]。LEC的非詞語數(shù)量能力因左內(nèi)側(cè)頂葉萎縮而受損，但大腦的語言區(qū)相對完好。她不能快速認出兩個或三個分離物體的個數(shù)，也不能區(qū)別數(shù)量比例為1:2的兩個較大的點集（如36和72）。BRI的左側(cè)額葉和顳葉萎縮，左側(cè)海馬回萎縮，造成了失語和工作記憶受損，但頂葉完好。她與LEC相反，能較快認出兩三個分離物體的個數(shù)，也能區(qū)別大數(shù)量的點集，說明她具有基本正常的非詞語數(shù)量能力。但是，BRI和LEC都只能緩慢地數(shù)較大的數(shù)量（5至8）并且錯誤較多[43]。這說明了精確數(shù)量能力會同時受語言和非詞語數(shù)量能力影響。
　　對于四則運算，Lemer等人發(fā)現(xiàn)，BRI的乘法和除法的錯誤率高達77.8%和94.4%，但是她的加法和減法的錯誤率卻相對低得多，只有9.3%和16.7%。LEC進行四則運算的錯誤率顯著低于失語癥病人BRI，乘法和除法的錯誤率為5.6%和33.3%，加法和減法約1%和18.5%。分析認為，乘法運算更多地依靠對記憶中的乘法表的提取，除法是乘法的逆運算，也依靠乘法表進行運算。這些算術(shù)事實的提取以言語進行。BRI的語言區(qū)受損，乘除法知識難以提取，運算便嚴重受阻。但加減法對記憶的提取相對較少，更多的是對數(shù)量進行操作性運算，它主要由大腦的頂內(nèi)溝區(qū)域負責，因此BRI能夠相對順利地進行。LEC的非詞語數(shù)量能力受損，語言區(qū)相對完好，算術(shù)事實基本能保留和使用，所以乘除運算顯著優(yōu)于失語的BRI。LEC的減法和除法表現(xiàn)差于自己的加法和乘法表現(xiàn)，這是由于逆運算需要對數(shù)量進行更多操作性運算，恰好與她頂葉受損有關(guān)。
　　Dehaene概括了有關(guān)的研究[44]，認為頂葉有3個神經(jīng)回路與數(shù)量加工有關(guān)：頂內(nèi)溝水平節(jié)（Horizontal segment of the intraparietal sulcus，簡寫HIPS），左側(cè)角回（Left angular gyrus，AG）和后頂上小葉（Posterior superior parietal lobule，PSPL）。
　　首先，大腦雙側(cè)頂內(nèi)溝是數(shù)量加工主要激活的區(qū)域。當任務(wù)涉及數(shù)量比較（如對分數(shù)字、比較數(shù)字大�。�，估計（如估計兩位數(shù)加減法的結(jié)果），數(shù)量歸類（如區(qū)別數(shù)量與方位），甚至在心算中提取一個數(shù)字的數(shù)量表征等等，這個區(qū)域是主要激活的大腦部位。Dehaene等人推測，數(shù)量的非語言表征可以類比成一個空間圖（Spatial map）或者心理數(shù)軸（Mental number line），呈現(xiàn)在雙側(cè)頂內(nèi)溝，這是人類數(shù)量直覺的基礎(chǔ)[44]。
　　其次，腦成像顯示，精確計算比近似計算更多激活左側(cè)角回。Dehaene[27]和Spelke[28]根據(jù)雙語大學生實驗的結(jié)果認為，進行兩到三位數(shù)計算和用不熟悉的進位制計算時要依賴語言�；鶖�(shù)和分數(shù)的表征是語言特定的（language-specific）。時間和空間信息編碼以第一語言為優(yōu)。多位數(shù)乘法任務(wù)比數(shù)字匹配任務(wù)，10以內(nèi)加法比10以上加法，都更多激活左側(cè)角回。由于乘法表和10以內(nèi)加法已成為熟練計算的人頭腦中的算術(shù)事實，由此推測，左側(cè)角回是算術(shù)事實以語言形式儲存的地方，是語言參與數(shù)量加工的區(qū)域。
　　再次，數(shù)字加工也會激活后頂上小葉。進行數(shù)字比較、求近似值、兩位數(shù)運算、數(shù)數(shù)等任務(wù)都會激活這個區(qū)域。這個區(qū)域并不是數(shù)字加工的特定區(qū)域，它在涉及視覺－空間的任務(wù)中起中心作用。上述計算任務(wù)都含有注意指向的成分，可以推測，在“心理數(shù)軸”上作空間移動與在大小數(shù)量之間作注意轉(zhuǎn)移是相對應的。
　　來自不同國家、具有不同教育背景、使用不同語言、取得不同數(shù)學成績的被試都會在數(shù)字加工時系統(tǒng)地激活頂葉的這三個部位。Dehaene認為這個顯著的解剖學事實在一定程度上與算術(shù)是文化的產(chǎn)物這一明顯的事實相一致。算術(shù)普遍地由數(shù)詞或數(shù)學符號表示，空間刺激的輸入也常常以文字信息的形式，計算常常不能脫離語言進行。在數(shù)量加工過程中，數(shù)量的比較、分類、數(shù)量表征的提取以及近似類比主要涉及頂內(nèi)溝；精確數(shù)量加工主要涉及左側(cè)角回；注意的指向、控制、空間轉(zhuǎn)移主要涉及后頂上小葉；它們連成一個數(shù)字加工的網(wǎng)絡(luò)[44]。
　　
　　4 語言在數(shù)量認知模型中的角色
　　
　　數(shù)量認知模型力圖把實驗和觀察中得到的局部認識加以匯總，形成對數(shù)量認知機理的整體認識并使之具有預測能力。其中，數(shù)字加工模型的對象是已經(jīng)符號化的數(shù)字系統(tǒng)，常與阿拉伯數(shù)字的編碼有關(guān)。數(shù)量化模型反映我們對客體的數(shù)量特征所作的感知、辨認和數(shù)量的符號化過程。語言在這些數(shù)量認知模型中擔當什么角色？
　　
　　4.1 數(shù)字加工模型
　　數(shù)字加工反映我們運用符號化的數(shù)概念進行量的運算。數(shù)字符號化系統(tǒng)就是一種語言。問題是如何將非詞語的數(shù)量能力與語言使用聯(lián)系起來，將各個方面協(xié)調(diào)為一個整體的模型。近年來出現(xiàn)的較受關(guān)注的數(shù)字加工模型有以下3個。
　　McCloskey等人于1992年從認知心理學的視角提出了“抽象編碼模型”（Abstract-code model）。它由3個數(shù)量認知系統(tǒng)構(gòu)成：數(shù)字編碼輸入的理解系統(tǒng)，計算過程系統(tǒng)和反應發(fā)生系統(tǒng)。模型的中心關(guān)鍵是通過一個單一形式的語義編碼來加工數(shù)量，實現(xiàn)3個系統(tǒng)的聯(lián)系。數(shù)量理解系統(tǒng)把數(shù)量的不同表面形式轉(zhuǎn)換成一個共同的抽象代碼，輸入到計算過程；計算系統(tǒng)包括基本數(shù)字事實和規(guī)則的記憶，數(shù)字事實假定以抽象形式儲存；反應發(fā)生系統(tǒng)再把抽象數(shù)量編碼還原成具體的阿拉伯數(shù)字或口語和書面的詞語形式[45]。
　　Dehaene和Cohen于1995年以神經(jīng)心理學的研究為基礎(chǔ)，提出了“三聯(lián)編碼模型”（Triple-code model）[44]。他們強調(diào)數(shù)量的表征而不是表面功能，提出數(shù)字加工有3個不同的表征系統(tǒng)：一個是類比量表征（Analog magnitude representation），支持非詞語的數(shù)量分析，提供近似、大小和距離等類比判斷；一個是視覺－阿拉伯數(shù)字表示（Visual-Arabic number form），支持阿拉伯數(shù)字的視覺輸入和輸出；還有一個是聽覺－詞語編碼系統(tǒng)（Auditory-verbal code system），支持對聽、說信息的輸入和輸出，以詞語形式提供簡單加法和乘法事實。這3種形式的編碼可以互相轉(zhuǎn)換，但各自都能將表面形式（Surface form）轉(zhuǎn)換為數(shù)量表征，因此運算和判斷不依賴表面形式。模型假定算術(shù)事實是通過語言來表征和儲存的，詞語在精確計算中起關(guān)鍵作用，而量的近似表征在簡單計算中起關(guān)鍵作用[44]。
　　最近，Campbell從行為實驗的大量觀察出發(fā)，吸取三聯(lián)編碼模型的一些要素，提出“復合編碼模型”（Encoding-complex model）[45]。她認為實際的數(shù)字加工過程會激起一個聯(lián)系豐富的網(wǎng)絡(luò)，各種編碼相互作用，包括相互干擾（比如9×6＝36）。該模型根據(jù)算術(shù)和詞語表示之間的密切關(guān)系，采納以語言形式存儲算術(shù)事實的觀點。該模型包含視覺編碼－數(shù)量編碼－詞語編碼轉(zhuǎn)換，其中心是數(shù)量編碼（Magnitude code）[45]。復合編碼模型比三聯(lián)編碼模型更強調(diào)各種算術(shù)知識和技能的相互影響，強調(diào)詞語的記憶編碼和語言對算術(shù)事實的提取作用。
　　
　　4.2 數(shù)量化模型
　　對于非詞語數(shù)量能力，例如在嬰幼兒、在缺乏數(shù)詞的社會群體里，精確數(shù)量表征與近似類比表征似乎是在小數(shù)量（3、4以內(nèi)）與大數(shù)量（4以上）之間被區(qū)分開來的[4]。對于一般受過教育的成人，這兩個數(shù)量表征的關(guān)系還是這樣嗎？關(guān)于數(shù)量化（Quantification，也稱為Enumeration）的研究一直在探討這個問題。
　　人類如何對具體物體作數(shù)量化反應，即如何辨認分離客體的個數(shù)，在實驗方法進入心理學初期就有人研究了（見Mandler等人的回顧[46]）。早期的數(shù)量化研究與識別廣度（Span of Apprehension）的研究結(jié)合在一起。Kaufman等人在1949年的實驗中給被試呈現(xiàn)含有1至210個點的圖，要求迅速準確地說出點的個數(shù)。根據(jù)反應時和準確率的特征，他們首次把數(shù)量化區(qū)分為兩類不同的機制：在1至6的范圍里，人們可以不經(jīng)過數(shù)數(shù)（Counting）而迅速準確地辨認出分離客體的個數(shù)，并把這個過程命名為Subitizing，意為“頓然識別”（頓識）。在大于6的范圍里，人們也可以不經(jīng)過數(shù)數(shù)而迅速地近似估計（Estimating）客體的個數(shù)。對于數(shù)數(shù)，其操作性定義是“從1開始，為每個客體配給數(shù)字序列中的一個數(shù)”[47]。頓識和估計不同于數(shù)數(shù)，它們只提供一個數(shù)字作為數(shù)量化的快速反應結(jié)果，而數(shù)數(shù)是一個較慢的序列過程，它對每個客體作出一次反應，最后累計得到總數(shù)，結(jié)果精確。只要時間允許和目標穩(wěn)定，數(shù)數(shù)就可以進行。可以說，Kaufman等人給出了第一個數(shù)量化模型。如果我們把頓識和估計概括為“感數(shù)”（相對于數(shù)數(shù)），本文稱Kaufman等人的模型為（感數(shù)－數(shù)數(shù)）雙機制數(shù)量化模型。
　　自從Kaufman等人的研究，頓識、估計和數(shù)數(shù)就成為數(shù)量化研究的明確對象，其中一個焦點就是三者的關(guān)系。目前較多研究趨向于認為，在刺激呈現(xiàn)短暫或者要求快速判斷的實驗條件下，數(shù)量化在以下三個數(shù)量段上各呈現(xiàn)一種機制：頓識在數(shù)量1至3、4內(nèi)進行，高度準確；數(shù)數(shù)在數(shù)量5至8、9內(nèi)進行，精確度隨數(shù)量增多而下降；估計在數(shù)量9以上進行，誤差服從韋伯律。本文稱此為三機制數(shù)量化模型。也有少數(shù)研究持不同觀點，認為數(shù)量化從小數(shù)量到大數(shù)量用的是同一個機制，例如，頓識只是快速數(shù)數(shù)。本文稱此為單機制數(shù)量化模型。頓識、估計和數(shù)數(shù)的詳盡關(guān)系，可參見Trick[22]，Mandler[46]和Pirzza[48]等人的回顧。
　　數(shù)量化模型中與語言關(guān)系最密切的部分是數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)是什么？Dehaene等人考察了頂葉受損導致不能在數(shù)數(shù)中進行序列加工的病人[49]。這些病人能夠迅速準確說出圖中2、3個點的個數(shù)，但是，當圖中的點多于2、3個時，他們的錯誤率超過90%，例如會重復數(shù)那些已經(jīng)數(shù)過的點。這說明頓識是并行加工，數(shù)數(shù)是序列加工的。Sathian等人的腦成像研究支持這一看法，并進一步發(fā)現(xiàn)，頓識在視覺的前注意（Pre-attentive）階段發(fā)生，數(shù)數(shù)則與視覺注意的轉(zhuǎn)移相關(guān)聯(lián)[50]。前面提及的因失語癥導致計算不能的病人BRI，因頂葉保留完好，能作頓識，也能估計，說明她具有基本正常的非詞語數(shù)量能力。但是，她只能緩慢地數(shù)較大的數(shù)量（5至8）并且錯誤較多[43]，說明是她的失語影響了數(shù)數(shù)。而病人LEC的非詞語數(shù)量能力因頂葉萎縮而受損，語言區(qū)相對完好，她也不能正常數(shù)數(shù)。這說明數(shù)數(shù)不能缺少非詞語數(shù)量能力和語言能力兩者中的任何一個。Pirzza等人的腦成像研究證實了這點：非詞語數(shù)量表征關(guān)聯(lián)的腦區(qū)和語言加工關(guān)聯(lián)的腦區(qū)在數(shù)數(shù)時是協(xié)同激活的[51]。他們的研究還發(fā)現(xiàn)，頓識與數(shù)數(shù)可以有共同激活的枕葉－頂葉網(wǎng)絡(luò)，包括左側(cè)頂內(nèi)溝。數(shù)數(shù)比起頓識在枕葉－頂葉網(wǎng)絡(luò)有更廣的激活并會隨著客體數(shù)量增加而擴展，但是頓識并沒有比數(shù)數(shù)激活更多的腦區(qū)。由于頂內(nèi)溝是非詞語數(shù)量加工的關(guān)聯(lián)區(qū)，枕葉－頂葉網(wǎng)絡(luò)則跟視覺模式辨認關(guān)聯(lián)，頓識和數(shù)數(shù)共同激活這個網(wǎng)絡(luò)說明了快速數(shù)數(shù)中采用了分組策略，對各組作頓識并累計總數(shù)[48]。
　　概括上述：感數(shù)（頓識和估計）是在前注意并行加工的基礎(chǔ)上進行的非詞語數(shù)量認知；數(shù)數(shù)則要在注意下進行，離不開語言（數(shù)字或任何其它符號化系統(tǒng)）。數(shù)數(shù)是語言化的數(shù)量表征的序列加工。
　　
　　5 爭論和待研究的問題
　　
　　即使有新的發(fā)現(xiàn)和認識，對于人類數(shù)量認知是否與語言相互獨立，仍有未解的爭論。數(shù)量認知與語言相互獨立的主要堅持者是Gelman、Gallistal等人[52~54]。
　　數(shù)量的知覺若沒有符號化系統(tǒng)（乃至語言）表示，是否就只能停留在近似估計或者有限幾個量的辨認上？如果這的確反映了目前為止的主要研究結(jié)果，是否就能說數(shù)量認知發(fā)展依賴語言，甚至，數(shù)概念形成是由語言決定的？Gelman對這些都持否定觀點[52]，她對新發(fā)現(xiàn)的事實有不同的解讀，并指出一些她掌握的但沒有被廣泛注意的研究結(jié)果。她的主要觀點是：數(shù)學能力獨立于語言。她不同意以Carey為代表的“自然數(shù)概念源于數(shù)詞”的觀點，該觀點認為，3以內(nèi)的自然數(shù)是在“客體檔案”（見1.2）與數(shù)詞“一”、“二”、“三”對應的意義上獲得，但對4以上的自然數(shù)，則靠順序讀數(shù)詞獲得。Gelman指出，兒童在學會較大的自然數(shù)之前已能理解一一對應，能理解當一個集合的量被改變（增加或減少客體）后會產(chǎn)生的結(jié)果，并理解有另一個數(shù)對應這種改變。Gelman還指出，缺乏數(shù)詞的一些非洲部落人一旦需要并接觸數(shù)字（如數(shù)錢），其獲得自然數(shù)概念的速度比兒童學數(shù)要快得多，認為他們在接觸數(shù)詞之前應當已經(jīng)在一定程度上理解數(shù)量的關(guān)系。Gelman也舉出例子，說明大腦損傷的失語癥病人其數(shù)學能力未必受嚴重影響[52]。
　　可以看到，一個隱含的爭論點是：生物的初始數(shù)學能力除了包含兩個已知的數(shù)量系統(tǒng)――近似表征系統(tǒng)和精確表征系統(tǒng)，是否還存在其它不依賴語言的理解數(shù)量的系統(tǒng)？這些未知系統(tǒng)如何幫助獲得大于3的精確自然數(shù)概念？在前語言條件下，還有哪些認知機制支持數(shù)量的理解？這些的確有待進一步研究。
　　此外，前面介紹過，6個月的嬰兒能精確辯認2和3，也能近似區(qū)分4和8的不同，但是就不能區(qū)分2和4的不同。目前還沒有研究報告說明這個現(xiàn)象。我們提供一個可能的解釋：對嬰兒來說，2和4跨越了精確和近似兩個系統(tǒng)，他們還無法同時采用和協(xié)調(diào)兩種加工方式，他們的工作記憶、注意協(xié)調(diào)能力都可能沒有達到應有的成熟。是否如此，仍待研究。
　　最后應當說明：本文涉及的數(shù)量認知只是數(shù)學認知的一個部分。國際上許多文獻雖然使用數(shù)字、數(shù)量、甚至數(shù)學等一般說法，但他們目前更多還是反映對自然數(shù)、小學算術(shù)等最初等的數(shù)量認知。數(shù)學思維有更廣闊的領(lǐng)域，如幾何、函數(shù)、概率，也反映更抽象的概念和運算，如代數(shù)、集合、數(shù)理邏輯。那些方面的研究相對較少，原因是初等領(lǐng)域還有許多不清楚和值得研究的問題，如本文概括的語言與數(shù)量認知的關(guān)系。復雜的問題就自然被留到今后了。
　　
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　　New Understanding on the Relationship between Language and Numerical Cognition
　　
　　Liu Dongtai 1Li Xiaojian2
　　( 1 Counseling & Research Center, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
　　( 2 Research Center of Psychological Application, South China Normal University, Guangzhou, 510631, China)
　　
　　Abstract: Studies of numerical cognition have made significant advance in recent years. This review comments on the two numerical representation systems of different underlying language dependency. The review includes the newly proposed dual core-systems of non-verbal numerical representations, evidence of language dependence of the exact numerical operations and the storage of arithmetic facts, the study series of language influence on the development of numerical ability in early childhood, the new evidence from brain science on the relationship between language and numerical cognition. Proposed issues for further studies include the cognitive mechanism of non-verbal numerical representations, as well as the existence of other numerical representations of language independence.
　　Key words: Language, Numerical cognition, Numerical representation, Brain mechanism, Children.

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