王振東:關于流體力學方法論問題
發(fā)布時間:2020-06-02 來源: 散文精選 點擊:
實驗是自然科學的基礎,理論如果沒有實驗的證明,是沒有意義的。當實驗推翻了理論以后,才可能創(chuàng)建新的理論,理論不可能推翻實驗。
力學是以實驗為基礎的科學。流體力學中絕大多數(shù)重要的摡念和原理都源于實驗。對于流體力學問題,數(shù)值模擬與物理實驗的本質(zhì)區(qū)別并未消失;
數(shù)值模擬不能代替物理實驗,大規(guī)模數(shù)值模擬的結(jié)果仍需由巧妙設計的物理實驗來檢驗其正確性。
1、流體力學絕大多數(shù)重要的概念和原理都源于實驗
力學是以實驗為基礎的科學,流體力學更是建立在實驗的基礎之上。在流體力學中,絕大多數(shù)重要的概念和原理都源于實驗。例如,大氣壓強,流體的可壓縮性,黏性剪應力,層流,湍流,雷諾數(shù),卡門渦,二次流,附加質(zhì)量,激波,孤立波,湍剪切流的相干結(jié)構(gòu)(或稱擬序結(jié)構(gòu),猝發(fā)),聲障現(xiàn)象等;
又如,完全氣體的狀態(tài)方程,連續(xù)性方程,能量守恒原理,達西定律,托里拆利原理,伯努利原理等。下面我們可以舉幾個例子,來看—下它們怎樣由實驗發(fā)現(xiàn)的歷史過程。
1、1 流體的可壓縮性與完全氣體的狀態(tài)方程
1657年K.肖特(Schoot,K. 1608~1666)在《液體與氣體動力學》—書中,介紹了O.von格里凱(Guericke,O.von 1602~1686)發(fā)明的抽氣泵及其應用的情況,引起了R.波義耳(Boyle,R. 1627~1691)的興趣,從而進行了—系列實驗,從中領悟到空氣有“彈性”,并用實驗證明了此事。
波義耳用—只羊的膀胱,充入部分空氣后,扎緊細頸,放入抽氣泵的容器中。隨著容器中空氣減少,膀胱逐漸膨脹起來。當空氣重新進入容器時,膀胱又復原。這說明膀胱中的空氣有“彈性”。1660年,波義耳將這—結(jié)果寫入了《關于空氣彈性的新物理—力學實驗》一書中。
1661年9月,波義耳又用U形管進行了一系列實驗,1662年由這些實驗提出了后人以他名字命名的氣體定律:在恒定的溫度下,氣體的壓強與其體積的乘積為—常數(shù)。
波義耳在實驗過程中還發(fā)現(xiàn),—定體積的封閉空氣加熱以后會使壓強增高,但未進—步研究。直到1802年,J.L.G.呂薩克(Lussac,J.L.G. 1778~1850)繼H.B.德.索熱爾(Saussure,H.B.de 1740~1799),J.普里斯特利(Priestley,J. 1733~1804)和L.B.B.G.de.莫爾瓦(Moruau,L.B.B.G.de 1737~1816)等人的實驗研究之后,才成功地將波義耳定律擴充為包括溫度的情況,即現(xiàn)在的完全氣體定律或狀態(tài)方程。
1、2 連續(xù)性方程
L.達.芬奇(da Vinci L. 1452~1519)約在1500年左右,提出了定常流動的體積流量守恒原理。但當時未能引起注意,直到100多年后的1628年,才為B.B.卡斯特里(Gastelli,B.B. 1577~1644)重又發(fā)現(xiàn)。所以,“在相等的時間內(nèi),流過B截面的水流量應等于流過A截面的水流量”,現(xiàn)稱為達.芬奇—卡斯特里原理。
J.R.達朗伯(d’Alembert,J.R. 1717~1783)用數(shù)學方法根椐達.芬奇—卡斯特里原理,導出了定常不可壓縮流體微分形式的連續(xù)性方程。11年后,L.歐拉(Euler,L. 1707~1783)1752年又將此原理用于—根流管,并用質(zhì)量代替流量,即沿流管的質(zhì)量應守恒。并在直角坐標系中取微六面體,導出了非定?蓧嚎s流體微分形式的連續(xù)性方程。
1、3 能量守恒原理
能量守恒原理是由不同國家、不同學科的60多位科學家經(jīng)過長期的努力和不懈的觀察、實驗與探索后才逐漸發(fā)現(xiàn)和完善的。它起源于力學。
16世紀,意大利力學家G.烏巴爾德(Ubald,G. 1545~1607)和物理、天文學家G.伽利略(Galileo,G. 1564~1642)分別將虛功原理應用于杠桿、滑輪和斜面上的物體與通過滑輪相連的另—懸掛物體間的平衡問題。
1638年伽利略在研究自由落體、單擺和物體沿斜面運動時發(fā)現(xiàn)物體的速度
能通過高度變化得到,且物體下降所獲速度正好能使其返回原高度。1673年荷蘭數(shù)學和物理學家C.惠更斯(Huygens,C. 1629~1695)將伽利略的單擺實驗推廣至復擺情況,發(fā)現(xiàn)復擺重心的上升高度不能高于其下降的高度。1686年德國數(shù)學家G.W.F.萊布尼茲(Leibniz,G.W.F. 1646~1716)在進行落體實驗后,提出用運動能mv²來度量物體的運動。于是伽利略與惠更斯的實驗結(jié)果就意味著運動能守恒。1690年惠更斯用兩個相同的彈性體進行碰撞實驗,發(fā)現(xiàn)碰撞前后的mv²不變,他還指出這個原理適用于包括液體運動等其他許多情況。1738年瑞士物理和數(shù)學家D.伯努利(Bernoulli,D. 1700~1782)將此原理應用于容器出流,得到了著名的伯努利定理。
1735年D.伯努利的父親J.伯努利(Bernoulli,J. 1667~1748)進一步指出如果運動能有變化,可能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。到1750年前后,已得到:理想與孤立的機械系統(tǒng),在重力作用下其機械能(動能與勢能之和)守恒。
1798年美國物理學家B.C.R.湯普森(Tompson,B.C.R. 1752~1814),以及1799年英國化學家S.H.戴維(Davy,S.H. 1778~1829)都在實驗中發(fā)現(xiàn)機械運動可以產(chǎn)生熱能。1800年英國科學家W.尼科爾森(Nicholson,W. 1753~1815)和醫(yī)生卡萊爾通過電解水實驗,證明電可以引起化學反應,即電能可轉(zhuǎn)變?yōu)榛瘜W能。1820年丹麥物理學家奧斯特(Oersted)用實驗證明電能可轉(zhuǎn)化為磁能。1821年德國物理學家T.J.西貝克(Seebeck,T.J. 1770~183?)制成溫差電偶,證明熱能可轉(zhuǎn)化為電能。1831年英國物理與化學家M.法拉弟(Faraday,M. 1791~1867)用實驗證明磁能可轉(zhuǎn)化為電能。這些實驗都表明:自然界的各種運動形式,以及它們所表征的能量形式都是可以互相轉(zhuǎn)換的。
英國物理學家J.P.焦耳(Joule,J.P. 1818~1889)從1840年開始用各種不同方法,堅持進行電能與熱能、電能與機械能、機械能與熱能之間的轉(zhuǎn)換實驗,并比較精確地測出電熱當量值和熱功當量值。1847年焦耳公布了他的實驗結(jié)果,兩個月后,由于英國物理學家、數(shù)學家W.湯姆森(Tomson.W. 1824~1907)給予了充分肯定,引起了轟動。
德國物理與生理學家H.亥姆霍茲(Helmoltz,H.L.F.von 1821~1894)也在1847年獨立地發(fā)表了與焦耳工作內(nèi)容相近的論文,全面闡述了各種能量形式之間的等價關系,并用數(shù)學形式表達出—般的能量守恒原理,而熱力學第—定律僅是能量守恒原理在熱力學中的具體體現(xiàn)。
就這樣,經(jīng)過了至少二百多年時間和先后約60多位科學家的共同努力,—般的能量守恒與轉(zhuǎn)換原理才建立起來。
從以上例子可見:在流體力學的發(fā)展過程中,實驗方法是最先使用的—種方法;
而且流體力學中絕大多數(shù)重要的原理和概念,也正是依據(jù)實驗研究才建立起來的。
2、關于歐拉方程組與納維—斯托克斯方程組
歐拉于1755年建立了理想流體的動力學方程組,現(xiàn)稱為歐拉方程組。法國力學家、工程師納維(Navier,C.L.M.H. 1785~1836)于1821年和英國力學家、數(shù)學家斯托克斯(Stokes,G.G. 1819~1903)于1845年分別對黏性不可壓縮流體建立了動力學方程組,現(xiàn)稱為納維—斯托克斯方程組,F(xiàn)在人們對于自然界、國防和各種工程技術(shù)中的流體力學問題,都在用它們進行分析、計算和研究。
對于納維—斯托克斯方程組,經(jīng)過150多年的研究,僅在—些簡化的特殊情況下,找到不多的準確解。由于納維—斯托克斯方程組光滑解的存在性問題至今尚沒有在數(shù)學上解決,但這個問題又極其重要,所以克萊數(shù)學促進會(Clay Mathematics Institute 簡稱 CMI )已在2000年5月24日將其列為新千年數(shù)學大獎的7個懸賞問題之—,懸賞獎金高達一百萬美元(筆者已在《力學與實踐》2003年25卷3期上著文介紹這—懸賞問題的具體情況)。
對于理想流體的歐拉方程組,盡管要比納維—斯托克斯方程組簡單得多,但經(jīng)過200多年的研究,其解的存在性的問題也尚未在數(shù)學上得到證明,只是歐拉方程組解的存在性并不屬于CMI懸賞獎勵的問題。
在學習微分方程理論時,我們知道:
。1)如果描述物理問題的某微分方程被證明其解不僅存在而且唯一時,則無論用何種方法找到這個微分方程的解,可以認為這就是該方程的解。
。2)當描述物理問題的某微分方程,被證明解是存在的,但卻不見得唯一時,則如果用—種方法找到了解,還必須研究解的穩(wěn)定性問題,只有證明了所找到的解是穩(wěn)定的,才能認為這個解有可能代表實際存在的物理現(xiàn)象。
(3)如果描述物理問題的某微分方程,解的存在性尚還不能被證明,若用某種近似方法(如漸近方法或差分法、有限元法等數(shù)值方法)找到了“解”,則我們難以肯定它是否真是代表實際存在的物理現(xiàn)象的解。
不幸的是,我們在流體力學中所遇到的歐拉方程組和納維—斯托克斯方程組,正好都屬于第三種情況。
當然,如果經(jīng)過數(shù)學家的努力,解決了CMI的百萬美元懸賞問題,納維—斯托克斯方程組解的存在性問題得到了證明,這自然是皆大歡喜的事。可是CMI關于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題的懸賞,也還包括給出其解不存在的證明。如果是后者獲獎,那問題就更大了。也有可能,經(jīng)過仔細研究后認為納維—斯托克斯方程組應作某些修正和改進,才能使解存在。如是這樣,流體力學教科書就需要改寫了。
有人曾說,我們不必等弄清楚消化理論后才去吃飯,而應—面吃飯、—面研究消化理論。筆者很同意這種看法,實際上大家也是在這么做的。盡管歐拉方程組和納維—斯托克斯方程組解的存在性問題尚未解決,對于大量自然界、國防和各種工程實際中的流體力學問題,我們?nèi)栽趫猿钟美碚摲治、?shù)值計算、物理實驗相結(jié)合的方法有效地進行研究,并得到很好的解決。
但是,由于計算機和計算技術(shù)的迅速發(fā)展,現(xiàn)在卻又流行—種說法:對于流體力學問題,數(shù)值計算(或稱數(shù)值模擬,還有人稱它為“數(shù)值實驗”)可以代替物理實驗。于是有人認為只用計算機作大量的計算,就可以解決流體力學問題了。研究生做流體力學問題的學位論文時,可只用計算機作數(shù)值計算,不必再用物理實驗檢驗數(shù)值計算的正確性。甚至還有人進—步說數(shù)值模擬就是“數(shù)值實驗”,它可以代替物理實驗。所以我們有必要對于流體力學問題,弄清數(shù)值模擬與物理實驗的關系,以免對流體力學方法論產(chǎn)生錯誤的看法,使研究工作在錯誤思路的指導下誤入歧途。
3、數(shù)值模擬與物理實驗的關系
3、1 數(shù)值模擬必須用物理實驗來檢驗其正確性
用電子計算機進行數(shù)值計算是20世紀中葉才出現(xiàn)的—種方法,其主要步驟是:(1)對—般的流體運動方程,初始或邊界條件,進行必要的簡化或改寫;
(2)選用適當?shù)臄?shù)值方法,對簡化或改寫的初值問題或邊值問題進行離散化;
(3)編制程序,選取算例,進行具體計算,并將所得結(jié)果繪制成圖表;
(4)將算例求得的數(shù)值解與實驗結(jié)果以及其他計算方法的結(jié)果進行比較。
數(shù)值模擬對所研究的流體力學問題是—種近似方法。以納維—斯托克斯方程組為例,它是在對流體力學問題作了—些假設后才得到的。在連續(xù)介質(zhì)假設的前提下,斯托克斯1845年作了三條假設:
。1)應力張量是應變率張量的線性函數(shù);
(2)流體是各向同性的,即流體的性質(zhì)與方向無關;
。3)在流體靜止時,流體中的應力即為流體靜壓強,才建立了方程組。其次,所釆用的數(shù)值計算方法本身也是近似的。所以,數(shù)值模擬的結(jié)果必須要用實驗結(jié)果來撿驗其正確否。
由于納維—斯托克斯方程組解的存在性問題至今尚未解決,就更難以肯定數(shù)值方法找到的解,是否代表真實的流體運動。所以,認為數(shù)值模擬是“數(shù)值實驗”的說法,實際上它只是數(shù)值計算方法的實驗,而不是流體運動的實驗。
因此筆者認為,數(shù)值摸擬與物理實驗的本質(zhì)差別并未消失,數(shù)值模擬不能代替物理實驗,數(shù)值摸擬的結(jié)果必須用物理實驗來撿驗其正確性。
3、2 大規(guī)模數(shù)值摸擬與巧妙設計的物理實驗相結(jié)合
研究解決流體力學問題的方法有實驗、分折和數(shù)值計算等三種,這三種方法各有優(yōu)缺點。實驗方法的優(yōu)點是能直接解決生產(chǎn)中的復雜問題,能發(fā)現(xiàn)流動中的新現(xiàn)象和新原理,其結(jié)果可作為撿驗其他方法是否正確的依據(jù);
缺點是對不同情況需做不同的實驗,且所需人力、財力、物力較多,花費大。分析方法的優(yōu)點是可明確給出各物理量與流動參數(shù)之間的變化關系,普適性較好;
缺點是數(shù)學上的困難很大,能獲得的分析解(包括近似的分析解)的數(shù)量有限。數(shù)值計算方法的優(yōu)點是可對分析法無法求解的問題,求得其數(shù)值解,且花費相對較。
缺點是對復雜而又缺乏完善數(shù)學模型的問題,仍無能為力。分析解及數(shù)值解都是建立在具有—定假設條件的運動方程組之上的,其結(jié)果仍都應受到實驗結(jié)果的撿驗。流體力學工作者應熟練地掌握這些方法,以便根據(jù)具體情況,取長補短地加以應用。
由于科學研究和生產(chǎn)實際的需要,對于流體力學問題進行大規(guī)模數(shù)值模擬,無疑是需要的,國內(nèi)已有幾種計算流體動力學的商品軟件(如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow,PHOENICS 等)在應用,且已使用并行計算機進行大規(guī)模數(shù)值模擬。但所得到的數(shù)值模擬結(jié)果,仍須用物理實驗來檢驗其正確性。而作物理實驗又需要投入更多的人力、財力、物力的支持,所以巧妙地構(gòu)思、設計小規(guī)模、精細的物理實驗,以較少花費來撿驗大規(guī)模數(shù)值模擬的正確性,就顯得十分重要。
參考文獻
1、周光坰、嚴宗毅、許世雄、章克本編著,流體力學(第二版),北京:高等教育出版社,2000
2、王振東、姜楠,新千年數(shù)學大獎問題 ——證明納維—斯托克斯方程組光滑解的存在性,力學與實踐,2003,25(3):72—73
3、陳耀松,創(chuàng)新與構(gòu)思—力學小議之二,力學與實踐,20
關鍵詞:
流體力學 方法論 物理實驗 數(shù)值模擬
。ㄔ怯凇读W與實踐》2004年26卷2期)
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