實變函數(shù)與泛函課程改革- 課程改革論文- 教育論文 ——文章均為 WORD 文檔，下載后可直接編輯使用亦可打印——

　 摘要：本文探討了《實變函數(shù)與泛函分析》課程內容改革，一是采用一維化方法從一維實數(shù)空間的測度論開始學習，二是采用測度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理的學習路徑學習測度論，可測函數(shù)和積分論的性質。此教學方案突出課程核心內容，減輕了課程難度，適合數(shù)學類和相關專業(yè)學生學習。

　 關鍵詞：一維化方法；測度論；學習路徑

　 一、引言

　 隨著大學教育跟國際接軌，在筆者所在首都經(jīng)濟貿易大學，高年級數(shù)學課程越來越受到重視。

　《實變函數(shù)與泛函分析》 （簡稱實變課程）課程不僅是數(shù)學、統(tǒng)計類學生的必修課，也在經(jīng)濟、管理類學生中受到歡迎。隨著學生范圍的擴大，有必要針對學生背景改革實變課程的教學內容和方法。

　 二、《實變函數(shù)與泛函分析》課程教學改革建議

　 實變課程的主要內容是通過 n 維歐式空間（簡記為 n 維空間）上Lebesgue 意義下測度、可測函數(shù)、積分論基本理論的學習，理解抽象測度論和 n 維空間結構相互結合。n 維空間上測度論是后繼課程《測度論》和《隨機過程》的基礎，也是現(xiàn)代數(shù)學的基石。由于測度論的抽象性，我們都是通過學習 n 維空間上測度論過渡到抽象測度論。n維空間上測度論包括許多抽象測度論的內容，給出了抽象測度論具體實現(xiàn)的空間，也是對實數(shù)結構更加深入的認識。采用教材[1]得到啟發(fā)，筆者認為可以在兩個大方面改善課程教學，第一個方面是在 n 維空間測度論學習中首先學習一維實數(shù)空間、R 的測度論，從 R 的測度論出發(fā)再深入學習 n 維空間的測度論，第二個方面是在完成測度論學習后，

　采用抽象測度論的方法把測度、可測函數(shù)和積分論的性質聯(lián)系在一起，具體學習路徑是：測度的可數(shù)可加性圯葉戈洛夫定理圯有界收斂定理圯 Fatou 引理圯 Lebesgue 控制收斂定理。我們從實變課程中測度、可測函數(shù)和積分論來討論以上兩個方面。（一）學習 n 維空間測度論的新方法第一步，R 實數(shù)空間。我們知道測度論的學習一般分為兩個階段，第一階段《實變》課程學習 n 維空間上 Lebesgue 測度論，第二階段《測度論》課程學習抽象測度論。國內數(shù)學教材比如[2]，是直接學習 n 維歐式空間測度理論。傳統(tǒng)數(shù)學系學生已經(jīng)對 n 維空間的拓撲結構有比較深入的了解，此方法不無不可。而對財經(jīng)類院校學生，對于 n 維空間不太熟悉，那么直接學習 n 維歐式空間測度理論有相當難度。筆者翻閱了眾多教材，發(fā)現(xiàn)書[1]從 n=1，即實數(shù)軸 R 上的測度論講起，非常方便數(shù)學基礎相對薄弱的學生直接學習實變課程。我們敘述學習 R 上測度論的優(yōu)點：1.R 上容易證明以下命題。命題 1（[1]Propostion1P31）：R 上區(qū)間的外測度是其長度。我們對 R 上開區(qū)間 I=（a，b）定義長度為 l（I）=b-a。任何集合 A 定義外測度，找可數(shù)個開區(qū)間覆蓋 A，求出開區(qū)間的長度和，最后對有所有長度和取下確界，即 m*（A）=inf∞k=1Σl（Ik）|A 哿∞k=1 胰 Ik 胰胰。此定義是從長度到測度的重要步驟，保證了數(shù)學理論邏輯的完整性。R 上區(qū)間的外測度是其長度的結論雖然非常直觀，但是證明需要一定的技巧，用到了閉區(qū)間的緊致性（證明參見[1]Propostion1P31）。另一方面，在敘述完外測度的定義后，外測度的單調性、次可數(shù)可加性屬于抽象測度論內容。2.R 上容易證明以下命題。命題 2（[1]Propostion8P38）：R

　上每個區(qū)間是可測的。在抽象測度論方面，我們引入 Caratheodory條件定義可測集。測度就是外測度在可測集上的限制�？蓽y集滿足 σ-代數(shù)性質，且測度具有可數(shù)可加性，上、下連續(xù)性。關鍵在 R 上我們可以比較容易地證明每個區(qū)間都是可測的，避免 n 維空間上結果的技術細節(jié)，從而通過區(qū)間生成 Borel 可測集和 Lebesgue 可測集。3.R 的拓撲結構簡單，我們有如下命題。命題 3（[1]Propostion9P17）：R 的非空開集是可數(shù)個開區(qū)間的并集，非空閉集是可數(shù)個閉區(qū)間的并集。R 上拓撲結構是開、閉區(qū)間概念的直接推廣，直接引入了拓撲概念。我們可以用開集、閉集逼近可測集，便于理解拓撲與測度的關系（[1]P40）。學習 n 維空間測度論的新方法第二步，n 維空間。在具體學完 R 上測度后，我們對抽象測度論有一定理解，只需拓展以上三個命題就可以理解 n 維空間上 Lebesgue 測度論， 減輕了學習難度。命題 1’（[1]例 P62）：n 維空間上矩體的外測度是其體積。命題 2’（[1]定理 2.9P74）：n 維空間上每個開矩體是可測的。命題 3’n 維空間上每個開集是可數(shù)個開矩體的并集。命題 1’在書[2]中并沒有給出詳細證明，其具體證明細節(jié)把命題 1 的證明推廣到多維。命題 2’比命題 2 的證明復雜。（二）對于 R 上的可測函數(shù)類，我們可以比較簡單地證明Littlewood 三原則（[1]P ）。①每個可測集幾乎是有限個區(qū)間的并集（[1]Theorem12P41）。②每個可測函數(shù)幾乎是連續(xù)的，即魯津定理（[1]P66）。③函數(shù)列點態(tài)收斂幾乎是一致收斂，即葉戈洛夫定理（[1]P ）。其中葉戈洛夫定理的證明用到了 Lebesgue 測度的連續(xù)性，即測度可數(shù)可加性的一個推論，聯(lián)系了測度和可測函數(shù)的性質

�。╗1]RemarkP78）。（三）對于 R 上的可測函數(shù)的 Lebesgue 積分。我們利用葉戈洛夫定理證明有界收斂定理，聯(lián)系了可測函數(shù)和積分的性質（[1]RemarkP78），進而證明 Fatou 引理，單調收斂定理，Lebesgue控制收斂定理。以上（二），（三）部分參考學習路徑，屬于抽象測度論的內容，其結果可以平行地推廣到 Rn 空間中。

　 三、結束語

　 綜上所述，以上《實變函數(shù)與泛函分析》課程關于一維化方法和測度、可測函數(shù)、積分論學習路徑的建議是適應課程面向大眾化的改革方案，突出核心內容，極大減輕了教學內容的難度，便于學生學習。根據(jù)學生情況，課程還可以增加弱收斂、度量空間、拓撲空間、Banach空間、Hilbert 空間等內容。

　 參考文獻：

　 [1]H.Royden,P.Fitzpatrick.RealAnalysi,FourthEdition[M].機械工業(yè)出版社,2010.

　 [2]周民強.實變函數(shù)論[M].第 2 版. 大學出版社,2008.

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